Quais dos cunjuntos a seguir são conjuntos de cobertura para \mathcal{P}_{3} ? Justifique sua resposta.
\left\{x+2, x^{2}-1\right\}

Passo 1

O enunciado dá o conjunto \{x+2,\;x^{2}-1\} e pede para decidir se ele é um conjunto de cobertura para \mathcal{P}_{3}.
Informações relevantes que temos:
  • O conjunto dado é \{x+2,\;x^{2}-1\} (dois polinômios).
  • O espaço alvo é \mathcal{P}_{3}, ou seja, o espaço de todos os polinômios com coeficientes reais de grau menor ou igual a 3.
  • A pergunta é: esse conjunto gera (ou “cobre”) todo \mathcal{P}_{3}? Ou seja, qualquer polinômio de grau \le 3 pode ser escrito como combinação linear dos dois polinômios dados?

Passo 2

Definição e ideia para testar: um conjunto S é conjunto de cobertura (ou gera o espaço) se todo vetor do espaço pode ser escrito como combinação linear dos elementos de S. Em notação:
\operatorname{span}(S)=\left\{ \alpha p_1+\beta p_2+\cdots \mid \alpha,\beta,\ldots\in\mathbb{R}\right\},
e queremos saber se \operatorname{span}\{x+2,\;x^{2}-1\}=\mathcal{P}_{3}.
Uma maneira rápida de eliminar a possibilidade é comparar dimensões: se \mathcal{P}_{3} tem dimensão maior que o número de vetores do conjunto, então o conjunto não pode gerar \mathcal{P}_{3}.

Passo 3

Dimensão de \mathcal{P}_{3}: um base usual é \{1,\;x,\;x^{2},\;x^{3}\}. Logo
\dim(\mathcal{P}_{3})=4.
O conjunto dado tem apenas 2 elementos, então suas combinações lineares geram, no máximo, um subespaço de dimensão 2. Como 2<4, por argumento de dimensão, esse conjunto não pode gerar \mathcal{P}_{3}. Portanto já está claro que não é conjunto de cobertura.

Passo 4

Para ver de modo mais concreto (passo a passo algebraico) veja que qualquer combinação linear dos geradores tem forma
\alpha(x+2)+\beta(x^{2}-1)=\beta x^{2}+\alpha x+(2\alpha-\beta).
Isto é, qualquer polinômio da \operatorname{span}\{x+2,\;x^{2}-1\} é um polinômio do tipo
0\cdot x^{3} + (\beta) x^{2} + (\alpha) x + (2\alpha-\beta).
Compare com um polinômio arbitrário de \mathcal{P}_{3},
p(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x + d.
Para que exista \alpha,\beta com p(x)=\alpha(x+2)+\beta(x^{2}-1) é necessário que
a=0 \qquad\text{e}\qquad b=\beta,\quad c=\alpha,\quad d=2\alpha-\beta.
Portanto:
  • Qualquer polinômio com a\neq0 (por exemplo x^{3}) não pode ser gerado — já prova que não cobre \mathcal{P}_{3}.
  • Mesmo restringindo a grau \le2, nem todos são geráveis: os coeficientes devem satisfazer d=2c-b. Por exemplo o polinômio constante 1 não pertence ao span porque exigiria 0=\beta, 0=\alpha e 2\alpha-\beta=1, o que é impossível.

Passo 5

Conclusão final: o conjunto \{x+2,\;x^{2}-1\} não gera \mathcal{P}_{3}; ele gera apenas um subespaço de dimensão 2. Portanto não é conjunto de cobertura para \mathcal{P}_{3}.

Resposta

Não — \{x+2,\;x^{2}-1\} não é conjunto de cobertura de \mathcal{P}_{3}.

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