Quais dos cunjuntos a seguir são conjuntos de cobertura para
? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
e pede para decidir se ele é um conjunto de cobertura para
.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- O conjunto dado é
(dois polinômios). - O espaço alvo é
, ou seja, o espaço de todos os polinômios com coeficientes reais de grau menor ou igual a . - A pergunta é: esse conjunto gera (ou “cobre”) todo
? Ou seja, qualquer polinômio de grau pode ser escrito como combinação linear dos dois polinômios dados?
Passo 2
Definição e ideia para testar: um conjunto
é conjunto de cobertura (ou gera o espaço) se todo vetor do espaço pode ser escrito como combinação linear dos elementos de
. Em notação:
e queremos saber se
.
Uma maneira rápida de eliminar a possibilidade é comparar dimensões: se tem dimensão maior que o número de vetores do conjunto, então o conjunto não pode gerar
.
Uma maneira rápida de eliminar a possibilidade é comparar dimensões: se
Passo 3
Dimensão de
: um base usual é
. Logo
O conjunto dado tem apenas
elementos, então suas combinações lineares geram, no máximo, um subespaço de dimensão
. Como
, por argumento de dimensão, esse conjunto não pode gerar
. Portanto já está claro que não é conjunto de cobertura.
Passo 4
Para ver de modo mais concreto (passo a passo algebraico) veja que qualquer combinação linear dos geradores tem forma
Isto é, qualquer polinômio da
é um polinômio do tipo
Compare com um polinômio arbitrário de
,
Para que exista
com
é necessário que
Portanto:
- Qualquer polinômio com
(por exemplo ) não pode ser gerado — já prova que não cobre . - Mesmo restringindo a grau
, nem todos são geráveis: os coeficientes devem satisfazer . Por exemplo o polinômio constante não pertence ao span porque exigiria , e , o que é impossível.
Passo 5
Conclusão final: o conjunto
não gera
; ele gera apenas um subespaço de dimensão
. Portanto não é conjunto de cobertura para
.
Resposta
Não —
não é conjunto de cobertura de
.