Quais dos cunjuntos a seguir são conjuntos de cobertura para
? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pergunta se o conjunto
é um conjunto de cobertura para
.
As informações dadas são os quatro polinômios listados acima; não há outras restrições ou dados.
As informações dadas são os quatro polinômios listados acima; não há outras restrições ou dados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é
: é o conjunto de todos os polinômios com coeficientes reais de grau menor ou igual a
. Isto é, um elemento genérico de
tem a forma
onde
são números reais. Um exemplo particular em
é o polinômio
, que tem coeficiente
e os outros coeficientes zero.
Passo 3
Explicar o que significa “conjunto de cobertura” (span): um conjunto
de polinômios é um conjunto de cobertura para
se toda combinação linear de elementos de
puder ser gerada por combinações lineares dos elementos de
. Ou seja,
é cobertura se qualquer polinômio
pode ser escrito como
onde os
são os polinômios de
e os
são escalares reais.
Passo 4
Vamos testar se é possível obter um polinômio de grau
(por exemplo
) como combinação linear dos polinômios dados. Suponha que existam escalares reais
tais que
Agora vamos expandir e agrupar termos em potência de
. O lado esquerdo fica
Agrupando coeficientes por potência de
, obtemos
Passo 5
Observe o que aconteceu: a combinação linear resultou em um polinômio que não tem termo em
; o coeficiente de
é exatamente
. Portanto qualquer combinação linear dos polinômios
produz um polinômio cujo grau é, no máximo,
. Em outras palavras,
onde
é o espaço dos polinômios de grau
.
Passo 6
Como
contém polinômios de grau
(por exemplo
), e nenhum desses pode ser obtido por combinação linear dos elementos do conjunto dado (porque todas as combinações têm coeficiente de
igual a zero), segue que o conjunto fornecido não gera todo
. Logo não é conjunto de cobertura para
.
Resposta
Não.