Quais dos cunjuntos a seguir são conjuntos de cobertura para \mathcal{P}_{3} ? Justifique sua resposta.
\left\{2, x^{2}, x, 2 x+3\right\}

Passo 1

O enunciado pergunta se o conjunto \{2,\;x^{2},\;x,\;2x+3\} é um conjunto de cobertura para \mathcal{P}_{3}.
As informações dadas são os quatro polinômios listados acima; não há outras restrições ou dados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é \mathcal{P}_{3}: é o conjunto de todos os polinômios com coeficientes reais de grau menor ou igual a 3. Isto é, um elemento genérico de \mathcal{P}_{3} tem a forma
a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0},
onde a_{3},a_{2},a_{1},a_{0} são números reais. Um exemplo particular em \mathcal{P}_{3} é o polinômio x^{3}, que tem coeficiente a_{3}=1 e os outros coeficientes zero.

Passo 3

Explicar o que significa “conjunto de cobertura” (span): um conjunto S de polinômios é um conjunto de cobertura para \mathcal{P}_{3} se toda combinação linear de elementos de \mathcal{P}_{3} puder ser gerada por combinações lineares dos elementos de S. Ou seja, S é cobertura se qualquer polinômio p\in\mathcal{P}_{3} pode ser escrito como
p=\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots+\alpha_{k}v_{k},
onde os v_{i} são os polinômios de S e os \alpha_{i} são escalares reais.

Passo 4

Vamos testar se é possível obter um polinômio de grau 3 (por exemplo x^{3}) como combinação linear dos polinômios dados. Suponha que existam escalares reais A,B,C,D tais que
A\cdot 2 + B\cdot x^{2} + C\cdot x + D\cdot(2x+3) = x^{3}.
Agora vamos expandir e agrupar termos em potência de x. O lado esquerdo fica
2A + Bx^{2} + Cx + 2Dx + 3D.
Agrupando coeficientes por potência de x, obtemos
(2A+3D) + (C+2D)x + Bx^{2}.

Passo 5

Observe o que aconteceu: a combinação linear resultou em um polinômio que não tem termo em x^{3}; o coeficiente de x^{3} é exatamente 0. Portanto qualquer combinação linear dos polinômios \{2,x^{2},x,2x+3\} produz um polinômio cujo grau é, no máximo, 2. Em outras palavras,
\operatorname{span}\{2,x^{2},x,2x+3\}\subseteq \mathcal{P}_{2},
onde \mathcal{P}_{2} é o espaço dos polinômios de grau \le 2.

Passo 6

Como \mathcal{P}_{3} contém polinômios de grau 3 (por exemplo x^{3}), e nenhum desses pode ser obtido por combinação linear dos elementos do conjunto dado (porque todas as combinações têm coeficiente de x^{3} igual a zero), segue que o conjunto fornecido não gera todo \mathcal{P}_{3}. Logo não é conjunto de cobertura para \mathcal{P}_{3}.

Resposta

Não.

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