Determine o vetor
, tal que
.
Passo 1
Vou deixar muito claro o que o enunciado dá e o que pede. O enunciado escreve a igualdade
e acrescenta a condição
. As perguntas implícitas são:
- Determinar o vetor
que satisfaz a equação acima e a condição .
Informações fornecidas (segundo o enunciado tal como foi enviado):
- A igualdade
. - A restrição
.
Informações que deveriam estar no enunciado mas NÃO estão (ou estão ambíguas):
- Qual é o vetor
(ex.: com componentes explicitadas)? - O que é o subespaço
(ex.: com vetores dados)? - O que significa o símbolo
na igualdade: é o escalar , um vetor com todas as componentes iguais a , ou representa algum vetor nomeado (por exemplo )? (Observação: numa igualdade de vetores o lado direito tem de ser um vetor; um escalar isolado não é um vetor a menos que haja convenção explícita.)
Passo 2
Explicar por que a informação atual é insuficiente — conceito importante: igualdade entre vetores exige que ambos os lados sejam vetores na mesma dimensão.
- Se a notação for exatamente
com sendo o número escalar , isso é inválido como igualdade vetorial porque o lado esquerdo é um vetor e o lado direito é um escalar. Logo, o enunciado ficaria mal-formulado a menos que exista uma convenção (por exemplo, que represente o vetor em certa dimensão), o que não foi informado. - Para resolver a equação linear e impor
é necessário conhecer explicitamente , e interpretar o que é .
Passo 3
Descrever o método correto que seria aplicado assim que os dados completos forem conhecidos. Vou explicar passo a passo a técnica geral (vai servir para a prova):
- Reescrever a equação isolando
. Supondo que o termo à direita seja um vetor que chamaremos de (ou seja, interpretamos o por ), a equação vetorial é
Isolando
obtemos
Explicação do conceito usado: multiplicação por escalar e soma de vetores são operações componente a componente; dividir por 3 equivale a multiplicar por
.
- Verificar a condição
. Para isso é preciso ter uma base de . Se com vetores conhecidos, então significa que existem escalares tais que
Substituindo a expressão de
encontrada:
Isto é um sistema linear (componentes iguais) para as incógnitas
. Procedimento prático:
- Escrever as componentes de
. - Montar o sistema linear comparando com a combinação linear dos
. - Resolver o sistema por eliminação de Gauss (ou métodos elementares) para obter os
. - Se o sistema for compatível, os
fornecem (pela combinação). Se for incompatível, não existe vetor que satisfaça a equação.
Observação importante sobre dimensões: para fazer tudo isso é preciso que
,
e os
pertençam ao mesmo espaço
.
Passo 4
Exemplo concreto e totalmente resolvido (para treinar o procedimento na prova). Vou escolher dados simples para ilustrar — isto é apenas um exemplo pedagógico, não parte do enunciado original.
Suponha que
, que o lado direito
represente o vetor
e que
Passos aplicados:
- Calcular
candidato pela fórmula:
- Verificar se
. Procuramos tal que
Isto gera o sistema
e
, que é inconsistente. Conclusão: com esses dados de exemplo não existe
que satisfaça a equação. Se em vez de
tivéssemos
, então haveria
e seria solução.
Essa demonstração ilustra bem o procedimento que se aplica no exame: calcular
diretamente da equação linear e depois testar a pertença ao subespaço
resolvendo um sistema linear.
Passo 5
Resumo do que é necessário do enunciado e o que será feito quando esses dados existirem:
- É necessário que o enunciado informe claramente:
- o vetor
(suas componentes ou representação), - a interpretação de
(vetor ou outra coisa) e suas componentes, - a descrição do subespaço
(por exemplo, uma base ou geradores).
- o vetor
- Quando esses dados estiverem disponíveis, aplicar a fórmula
e em seguida verificar se esse
pertence a
escrevendo-o como combinação linear dos geradores de
. Resolver o sistema obtido; se houver solução, esse é o
; se não houver, não existe
que satisfaça a equação.
Força aí — se me enviar os vetores
, a interpretação do
(ou o vetor correspondente) e a descrição de
, eu já aplico esses passos e te devolvo a resolução completa com cálculos passo a passo.
Resposta
Não é possível determinar numericamente o vetor
com os dados fornecidos: faltam a definição do vetor
, a definição do subespaço
e a interpretação do símbolo
(que deve ser especificado como vetor).