Determine o vetor X, tal que 3 X-2 V=15(X \in U).

Passo 1

Vou deixar muito claro o que o enunciado dá e o que pede. O enunciado escreve a igualdade
3X-2V=15
e acrescenta a condição X\in U. As perguntas implícitas são:
  • Determinar o vetor X que satisfaz a equação acima e a condição X\in U.
Informações fornecidas (segundo o enunciado tal como foi enviado):
  • A igualdade 3X-2V=15.
  • A restrição X\in U.
Informações que deveriam estar no enunciado mas NÃO estão (ou estão ambíguas):
  • Qual é o vetor V (ex.: V\in\mathbb{R}^n com componentes explicitadas)?
  • O que é o subespaço U (ex.: U=\operatorname{span}\{u_1,\dots,u_k\} com vetores dados)?
  • O que significa o símbolo 15 na igualdade: é o escalar 15, um vetor com todas as componentes iguais a 15, ou representa algum vetor nomeado (por exemplo b)? (Observação: numa igualdade de vetores o lado direito tem de ser um vetor; um escalar isolado não é um vetor a menos que haja convenção explícita.)

Passo 2

Explicar por que a informação atual é insuficiente — conceito importante: igualdade entre vetores exige que ambos os lados sejam vetores na mesma dimensão.
  • Se a notação for exatamente 3X-2V=15 com 15 sendo o número escalar 15, isso é inválido como igualdade vetorial porque o lado esquerdo é um vetor e o lado direito é um escalar. Logo, o enunciado ficaria mal-formulado a menos que exista uma convenção (por exemplo, que 15 represente o vetor (15,15,\dots,15) em certa dimensão), o que não foi informado.
  • Para resolver a equação linear e impor X\in U é necessário conhecer explicitamente V, U e interpretar o que é 15.

Passo 3

Descrever o método correto que seria aplicado assim que os dados completos forem conhecidos. Vou explicar passo a passo a técnica geral (vai servir para a prova):
  1. Reescrever a equação isolando X. Supondo que o termo à direita seja um vetor que chamaremos de \,b (ou seja, interpretamos o 15 por b\in\mathbb{R}^n), a equação vetorial é
3X-2V=b.
Isolando X obtemos
3X=b+2V\quad\Rightarrow\quad X=\frac{1}{3}b+\frac{2}{3}V.
Explicação do conceito usado: multiplicação por escalar e soma de vetores são operações componente a componente; dividir por 3 equivale a multiplicar por 1/3.
  1. Verificar a condição X\in U. Para isso é preciso ter uma base de U. Se U=\operatorname{span}\{u_1,\dots,u_k\} com vetores u_i conhecidos, então X\in U significa que existem escalares \alpha_1,\dots,\alpha_k tais que
X=\alpha_1 u_1+\cdots+\alpha_k u_k.
Substituindo a expressão de X encontrada:
\frac{1}{3}b+\frac{2}{3}V=\alpha_1 u_1+\cdots+\alpha_k u_k.
Isto é um sistema linear (componentes iguais) para as incógnitas \alpha_1,\dots,\alpha_k. Procedimento prático:
  • Escrever as componentes de \frac{1}{3}b+\frac{2}{3}V.
  • Montar o sistema linear comparando com a combinação linear dos u_i.
  • Resolver o sistema por eliminação de Gauss (ou métodos elementares) para obter os \alpha_i.
  • Se o sistema for compatível, os \alpha_i fornecem X (pela combinação). Se for incompatível, não existe vetor X\in U que satisfaça a equação.
Observação importante sobre dimensões: para fazer tudo isso é preciso que b, V e os u_i pertençam ao mesmo espaço \mathbb{R}^n.

Passo 4

Exemplo concreto e totalmente resolvido (para treinar o procedimento na prova). Vou escolher dados simples para ilustrar — isto é apenas um exemplo pedagógico, não parte do enunciado original.
Suponha que V=(1,2), que o lado direito 15 represente o vetor b=(3,0) e que
U=\operatorname{span}\{u\},\quad u=(1,1).
Passos aplicados:
  • Calcular X candidato pela fórmula:
X=\frac{1}{3}b+\frac{2}{3}V=\frac{1}{3}(3,0)+\frac{2}{3}(1,2)=(1,0)+\left(\tfrac{2}{3},\tfrac{4}{3}\right)=\left(1+\tfrac{2}{3},0+\tfrac{4}{3}\right)=\left(\tfrac{5}{3},\tfrac{4}{3}\right).
  • Verificar se X\in U. Procuramos \alpha tal que
\alpha(1,1)=\left(\tfrac{5}{3},\tfrac{4}{3}\right).
Isto gera o sistema \alpha=5/3 e \alpha=4/3, que é inconsistente. Conclusão: com esses dados de exemplo não existe X\in U que satisfaça a equação. Se em vez de u=(1,1) tivéssemos u=(5,4), então haveria \alpha=1/3 e seria solução.
Essa demonstração ilustra bem o procedimento que se aplica no exame: calcular X diretamente da equação linear e depois testar a pertença ao subespaço U resolvendo um sistema linear.

Passo 5

Resumo do que é necessário do enunciado e o que será feito quando esses dados existirem:
  • É necessário que o enunciado informe claramente:
    • o vetor V (suas componentes ou representação),
    • a interpretação de 15 (vetor b ou outra coisa) e suas componentes,
    • a descrição do subespaço U (por exemplo, uma base ou geradores).
  • Quando esses dados estiverem disponíveis, aplicar a fórmula
X=\frac{1}{3}b+\frac{2}{3}V
e em seguida verificar se esse X pertence a U escrevendo-o como combinação linear dos geradores de U. Resolver o sistema obtido; se houver solução, esse é o X; se não houver, não existe X\in U que satisfaça a equação.
Força aí — se me enviar os vetores V, a interpretação do 15 (ou o vetor correspondente) e a descrição de U, eu já aplico esses passos e te devolvo a resolução completa com cálculos passo a passo.

Resposta

Não é possível determinar numericamente o vetor X com os dados fornecidos: faltam a definição do vetor V, a definição do subespaço U e a interpretação do símbolo 15 (que deve ser especificado como vetor).

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