Se
e
, então
.
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o enunciado: estamos em Teoria de Conjuntos e queremos mostrar que, se
-
-
então necessariamente
O que a gente vai precisar?
- Definição de união (
), interseção ( ) e diferença ( ). - Entender que para provar igualdade de conjuntos a gente faz “duas inclusões” (ou seja, mostra que cada lado está contido no outro).
Passo 2
Primeiro, mostro que
.
- Pegue um elemento qualquer
. - Como
, sabemos que todo elemento de também está em . Logo, . - Como
, não existe elemento em comum entre e . Como , segue que . - Juntando:
e . Essa é exatamente a definição de .
Portanto, todoestá em , ou seja, .
Passo 3
Agora, mostro que
.
- Pegue um elemento qualquer
. - Por definição de diferença,
e simultaneamente . - Mas
, então ou está em , ou está em . - Como sabemos que
, a única opção é .
Logo, todocai em , isto é, .
Resposta
Reunindo as duas inclusões (
e
), concluímos que