Se A cup B=C e A cap B=varnothing, então B=C-A.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o enunciado: estamos em Teoria de Conjuntos e queremos mostrar que, se
  1. B = C - A

  2. então necessariamente
O que a gente vai precisar?
  • Definição de união ( ), interseção ( ) e diferença ( ).
  • Entender que para provar igualdade de conjuntos a gente faz “duas inclusões” (ou seja, mostra que cada lado está contido no outro).

Passo 2

Primeiro, mostro que .
  1. Pegue um elemento qualquer .
  2. Como , sabemos que todo elemento de também está em . Logo, .
  3. Como , não existe elemento em comum entre e . Como , segue que .
  4. Juntando: e . Essa é exatamente a definição de .
    Portanto, todo está em , ou seja, .

Passo 3

Agora, mostro que .
  1. Pegue um elemento qualquer .
  2. Por definição de diferença, e simultaneamente .
  3. Mas , então ou está em , ou está em .
  4. Como sabemos que , a única opção é .
    Logo, todo cai em , isto é, .

Resposta

Reunindo as duas inclusões ( boxedB = C - A e ), concluímos que

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