Prove que:
iii) A cap A^c=varnothing.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente provar que
A cap A^c = varnothing
Isso é um exercício de teoria de conjuntos bem básico: precisamos usar as definições de interseção, complemento e conjunto vazio para mostrar que não existe nenhum elemento em comum entre um conjunto e o seu complementar.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar as definições:
  • Definição de complemento: A^c = x mid x notin A
    - Definição de interseção:
    A cap B = x mid x in A e x in B
  • Conjunto vazio: varnothing = x mid (nunca existe tal x)

Passo 3

Agora a prova em si. A gente assume, para ver que dá ruim, que existe algum elemento
x in A cap A^c
Pela definição de interseção isso significa duas coisas ao mesmo tempo:
1) x in A.
2) x in A^c, ou seja, x notin A.
Mas “ x in A e x notin A” é uma contradição: um mesmo elemento não pode pertencer e não pertencer a A ao mesmo tempo.

Passo 4

Como essa suposição leva a um absurdo, concluímos que não existe nenhum x em A cap A^c. Ou seja,
A cap A^c = varnothing

Resposta

A cap A^c = varnothing

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