.
Passo 1
Beleza, a gente quer provar a seguinte afirmação em teoria de conjuntos:
“Para quaisquer conjuntos e
, vale
“Para quaisquer conjuntos
O conteúdo aqui é a definição de subconjunto e de conjunto das partes (power set). Para resolver, vamos precisar lembrar:
-
significa “todo elemento de também está em ”. -
é o conjunto de todos os subconjuntos de .
Então vamos mostrar as duas direções da equivalência.
Passo 2
Provar que, se
, então
.
- Suponha
. - Tome um conjunto qualquer
. Por definição de power set, isso significa . - Como
, todo elemento de também está em . Logo, se , automaticamente . - Mas
é exatamente a condição para . - Concluímos que cada
está em . Ou seja, .
Passo 3
Provar que, se
, então
.
- Suponha
. - Precisamos mostrar que todo elemento de
também está em . Pegue um . - O conjunto
(o singleton) é um subconjunto de , então . - Pela hipótese,
. Isso significa . - Se
, então . - Como nosso
era um elemento genérico de , mostramos .
Resposta
Portanto, juntando as duas direções, concluímos