A subset B Leftrightarrow P(A) subset P(B).

Passo 1

Beleza, a gente quer provar a seguinte afirmação em teoria de conjuntos:
“Para quaisquer conjuntos A subset B Long<=ftrightarrow P(A) subset P(B) e , vale
O conteúdo aqui é a definição de subconjunto e de conjunto das partes (power set). Para resolver, vamos precisar lembrar:
  1. significa “todo elemento de também está em ”.
  2. é o conjunto de todos os subconjuntos de .
    Então vamos mostrar as duas direções da equivalência.

Passo 2

Provar que, se , então .
  1. Suponha .
  2. Tome um conjunto qualquer . Por definição de power set, isso significa .
  3. Como , todo elemento de também está em . Logo, se , automaticamente .
  4. Mas é exatamente a condição para .
  5. Concluímos que cada está em . Ou seja, .

Passo 3

Provar que, se , então .
  1. Suponha .
  2. Precisamos mostrar que todo elemento de também está em . Pegue um .
  3. O conjunto (o singleton) é um subconjunto de , então .
  4. Pela hipótese, . Isso significa .
  5. Se , então .
  6. Como nosso era um elemento genérico de , mostramos .

Resposta

Portanto, juntando as duas direções, concluímos
A subset B Long<=ftrightarrow P(A) subset P(B)

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