Sejam A e B dois conjuntos finitos. Prove que
n(A-B)=n(A)-n(A cap B)

Passo 1

Beleza, temos dois conjuntos finitos n(A - B) ;=; n(A) ;-; n(A cap B) e n(X cup Y) ;=; n(X) + n(Y) e queremos provar que
Aqui o conteúdo é teoria de conjuntos (diferença, interseção, união) e cardinalidade (número de elementos). Para resolver precisamos:
  1. Entender que toda a coleção de elementos de se divide em “os que também estão em ” e “os que não estão em ”.
  2. Usar a propriedade de cardinalidade de uniões de conjuntos disjuntos: se e não têm elemento em comum, então

Passo 2

Primeiro, vamos ver que
A = (A cap B);cup;(A - B)
• Definição de diferença:
A - B = ,xin A mid xnotin B
• Interseção:
Acap B = ,xmid xin A e xin B
Agora, pegue um elemento . Ou ele está em (então ) ou não está em (então ). Logo todos os de estão em uma dessas duas partes, e nenhuma sobra fora. Assim a união é exatamente .

Passo 3

A gente também precisa ver que essas duas partes não “se misturam”, ou seja são disjuntas:
(Acap B);cap;(A - B)=varnothing
Prova rápida: suponha que exista nesse encontro. Então (logo ) e (logo ). Contradição. Portanto não há elemento em comum.

Passo 4

Agora aplicamos a propriedade de cardinalidade de união de conjuntos disjuntos: se n(Xcup Y)=n(X)+n(Y) , então
n(A) ;=; nl((Acap B)cup(A-B)r) ;=; n(Acap B) + n(A-B)
Substituindo n(A-B) ;=; n(A);-;n(Acap B) e , e lembrando que , a gente tem
Basta isolar :

Resposta

boxed,n(A - B) = n(A) - n(A cap B),

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