se e somente se
ou
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado quer que a gente prove que
Isso é teoria de conjuntos—mais especificamente, estamos lidando com união de conjuntos e o conjunto vazio. Para resolver, precisamos lembrar:
- O que significa
: existe pelo menos um elemento em . - A definição de união:
exatamente quando ou . - Como provar um “se e somente se”: mostrar a implicação em cada direção.
Passo 2
Prova da primeira direção:
“Se , então
ou
.”
“Se
- Suponha
. - Isso significa, por definição de conjunto não-vazio, que existe algum elemento
tal que - Pela definição de união,
ou . - Se
, então . Se , então . - Logo, dessa suposição sai que
ou .
Passo 3
Prova da segunda direção:
“Se ou
, então
.”
“Se
- Suponha
ou . - Vamos analisar por casos:
- Caso 1:
. Então existe com . Mas aí, pela definição de união, implica . Então tem pelo menos esse elemento , ou seja, . - Caso 2:
. Analogamente, existe . Logo e novamente .
- Caso 1:
- Em ambos os casos conseguimos ver que
não é vazio.
Resposta
Portanto, combinando as duas direções, mostramos que