A cup B neq varnothing se e somente se A neq varnothing ou B neq varnothing.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado quer que a gente prove que
A cup B neq varnothing se e somente se A neq varnothing ;ou; B neq varnothing
Isso é teoria de conjuntos—mais especificamente, estamos lidando com união de conjuntos e o conjunto vazio. Para resolver, precisamos lembrar:
  • O que significa : existe pelo menos um elemento em .
  • A definição de união: exatamente quando ou .
  • Como provar um “se e somente se”: mostrar a implicação em cada direção.

Passo 2

Prova da primeira direção:
“Se x in A cup B , então ou .”
  1. Suponha .
  2. Isso significa, por definição de conjunto não-vazio, que existe algum elemento tal que
  3. Pela definição de união, ou .
  4. Se , então . Se , então .
  5. Logo, dessa suposição sai que ou .

Passo 3

Prova da segunda direção:
“Se ou , então .”
  1. Suponha ou .
  2. Vamos analisar por casos:
    • Caso 1: . Então existe com . Mas aí, pela definição de união, implica . Então tem pelo menos esse elemento , ou seja, .
    • Caso 2: . Analogamente, existe . Logo e novamente .
  3. Em ambos os casos conseguimos ver que não é vazio.

Resposta

Portanto, combinando as duas direções, mostramos que
A cup B neq varnothing Long<=ftrightarrow A neq varnothing ;ou; B neq varnothing

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