Curso: Bacharelado em Engenharia Mecânica
Profa. Vanísia Lima
Disciplina: Cálculo III

EXERCÍCIOS

t y^prime prime(t)+2 y^prime(t)=0 (Sugestão: faça y^prime(t)=u(t))

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem t,y''(t)+2,y'(t)=0. Isso faz parte do conteúdo de EDOs (Equações Diferenciais Ordinárias) em Cálculo III. Vamos usar a sugestão y'(t)=u(t) para reduzir a ordem.

Passo 2

Substituindo y'(t)=u(t) temos y''(t)=u'(t), então a equação fica
t,u'(t)+2,u(t)=0
que é uma EDO de primeira ordem linear homogênea.

Passo 3

Para resolver t,u'+2u=0, separamos variáveis: dividindo por u e por t (assumindo tneq0 e uneq0) temos
u'u=-2t
Integrando:
ln|u|=-2ln|t|+C1
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$$
u(t)=C,t^{-2},\quad C=e^{C_1}\n$$.

Passo 4

Como u(t)=y'(t), integramos
y'(t)=C,t^-2Longrightarrow y(t)=Cintegral t^-2,dt=Cl(-t^-1r)+C2=-Ct+C2
Renomeando constantes, a solução geral é dada abaixo.

Resposta

y(t)=-C1t+C2

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