Para quais problemas a transformada de Laplace é preferivel ao método usual? Explique.

Passo 1

O enunciado pergunta em quais situações a transformada de Laplace é mais vantajosa que o “método usual” de resolver equações diferenciais. O assunto é resolução de EDOs lineares de coeficientes constantes com condições iniciais e forçantes potencialmente descontinuas. Vamos precisar entender rapidamente os dois métodos para depois comparar.

Passo 2

No método usual de resolução de EDOs lineares de coeficientes constantes a gente faz três coisas: (1) resolve a equação homogênea encontrando raízes da equação característica, (2) obtém uma solução particular para a parte não homogênea, normalmente por tentativa de forma ou variação de parâmetros, e (3) impõe as condições iniciais para determinar as constantes livres. Isso pode ficar meio chato quando o termo forçante é uma função definida por partes ou envolve saltos e impulsos.

Passo 3

A transformada de Laplace é uma técnica que transforma a EDO em uma equação algébrica no domínio de Laplace (variável s), incorporando as condições iniciais de forma direta. Por definição:
Lf(t) = integral0^infty e^-st f(t) , dt
Depois de transformar cada termo da EDO, você resolve para F(s)=Ly(t) como se fosse uma equação algébrica. Por fim, aplica a transformada inversa para voltar a y(t).

Passo 4

As principais vantagens aparecem quando o termo de entrada (forçante) é uma função por partes, como um degrau unitário, rampa, impulso de Dirac ou qualquer sinal com descontinuidades. A Laplace trata esses casos de forma padrão usando tabelas e o teorema do deslocamento, sem precisar quebrar o tempo em vários intervalos nem re-aplicar condições iniciais a cada trecho.
Além disso, em problemas de circuitos elétricos (RLC), sistemas de controle e engenharia de sinais, as condições iniciais dos capacitores e indutores entram naturalmente na transformação, sem poluição de contas manuais extras.

Resposta

A transformada de Laplace é preferível para resolver EDOs lineares de coeficientes constantes com condições iniciais e entradas definidas por partes (degraus, rampas, impulsos), bem como em problemas de circuitos e sistemas de controle, porque converte a EDO em álgebra simples e trata descontinuidades e condições iniciais de forma direta.

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