Curso: Bacharelado em Engenharia Mecânica
Profa. Vanísia Lima
Disciplina: Cálculo III

EXERCÍCIOS

17.4 d yd x+xy=0, sendo y(4)=2

Passo 1

O enunciado nos dá uma equação diferencial de primeira ordem:
Temos 17.4 dydx + xy = 0 com condição inicial y(4)=2.
O conteúdo aqui é Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) de primeira ordem do tipo separável.

Passo 2

Começamos isolando dydx. Subtraindo xy de ambos os lados e dividindo por 17.4, obtemos:
dydx = -x17.4,y
Isso mostra que a equação é separável.

Passo 3

Agora separamos as variáveis multiplicando ambos os lados por y,dx:
y,dy = -x17.4,dx
E então integramos cada lado:
integral y,dy = -117.4integral x,dx
Pela regra de potência, isso dá:
y^22 = -x^22cdot17.4 + C

Passo 4

Multiplicando tudo por 2 para simplificar a expressão, temos:
y^2 = -x^217.4 + C'(onde C' = 2C)
Usamos a condição inicial y(4)=2 para achar C':
2^2 = -4^217.4 + C' implies 4 = -1617.4 + C' implies C' = 4 + 1617.4 = 85.617.4

Passo 5

Substituindo C' na expressão de y^2 e tirando raiz positiva (pois y(4)=2>0), obtemos a solução particular:
y^2 = 85.6 - x^217.4 Longrightarrow y = raiz85.6 - x^217.4

Resposta

y(x) = raiz85.6 - x^217.4

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