Encontre a transformada (mostrando os detalhes do que fizer e indicando o método ou formula que estiver usando):
cosh t-cos t

Passo 1

Vamos calcular a transformada de Laplace de cosh t - cos t. O conteúdo aqui é transformada de Laplace, e vamos precisar usar a propriedade da linearidade e as fórmulas conhecidas para cosh at e cos at.

Passo 2

A definição da transformada de Laplace de uma função f(t) é
Lf(t)(s)=integral0^inftyf(t)e^-st,dt
E a propriedade da linearidade diz que
Lf(t) + g(t)(s)=Lf(t)(s) + Lg(t)(s)
Vamos usar isso em seguida.

Passo 3

Pela linearidade, temos
Lcosh t - cos t(s)=Lcosh t(s)-Lcos t(s)
Agora basta encontrar cada parcela separadamente.

Passo 4

Usando a fórmula padrão para a hiperbólica cosh at:
Lcosh at(s)=ss^2 - a^2, s>a
No nosso caso, a=1, logo
Lcosh t(s)=ss^2 - 1, s>1

Passo 5

Para cos at temos a fórmula
Lcos at(s)=ss^2 + a^2, s>0
Com a=1,
Lcos t(s)=ss^2 + 1
Substituindo na expressão pela linearidade e simplificando:

Passo 6

Fazendo
Lcosh t - cos t(s)=ss^2 - 1-ss^2 + 1
e colocando no mesmo denominador:
s(s^2+1)-s(s^2-1)(s^2-1)(s^2+1)=2ss^4-1

Resposta

Lcosh t - cos t(s)=2ss^4 - 1

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