Curso: Bacharelado em Engenharia Mecânica
Profa. Vanísia Lima
Disciplina: Cálculo III

EXERCÍCIOS

y^prime(t)=1-y^2t y

Passo 1

Estamos lidando com a equação diferencial de primeira ordem
y'(t)=1-y^2t,y
O conteúdo aqui é equações diferenciais separáveis. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis em cada membro e depois integrar.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos y'(t) como dydt e separamos as variáveis, agrupando termos em y de um lado e em t do outro:
dydt=1-y^2t,y
Multiplicamos ambos os lados por y1-y^2,dt e por 1t no lado de dt:
y1-y^2,dy=1t,dt

Passo 3

Agora integramos cada membro. Do lado esquerdo, usamos a substituição u=1-y^2, logo du=-2y,dy. Isso dá:
integraly1-y^2,dy=integralyu(-tfrac12),du=-tfrac12integralduu=-tfrac12ln|u|+C1=-tfrac12ln|1-y^2|+C1
Do lado direito:
integral1t,dt=ln|t|+C2
Como só precisamos de uma constante, definimos C=C2-C1 e igualamos os resultados.

Passo 4

Temos então a forma implícita:
-tfrac12ln|1-y^2|=ln|t|+C
Multiplicando por -2) e exponenciando:
$$
\ln|1-y^2|=-2\ln|t|+C’$$
ln|1-y^2|=-2ln|t|+C'
Para simplificar, podemos absorver o sinal em |1-y^2|=e^C',t^-2=K,t^-2, K>0 , obtendo
K

Passo 5

Finalmente, isolamos y:
y^2=1-Kt^2
y(t)=pmraiz1-Kt^2, K constante real

Resposta

A solução geral é
y(t)=pmraiz1-Kt^2,
com K constante de integração.

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