Encontre a transformada (mostrando os detalhes do que fizer e indicando o método ou formula que estiver usando):
u(t-2 pi) sen t

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace do sinal u(t-2pi)sin t. O conteúdo é “Transformada de Laplace com função degrau deslocada” e vamos usar a definição integral da transformada e depois fazer uma mudança de variável para evidenciar o fator de atraso e^-2pi s.

Passo 2

Pela definição, a transformada de Laplace de f(t) é Lf(t)=integral0^inftye^-stf(t),dt. Como temos u(t-2pi)sin t, o integral começa em t=2pi:
Lu(t-2pi)sin t=integral2pi^inftye^-stsin t,dt

Passo 3

Fazemos a mudança de variável t=tau+2pi, de modo que quando t=2pi temos tau=0 e quando ttoinfty temos tautoinfty. Então:
integral2pi^inftye^-stsin t,dt =integral0^inftye^-s(tau+2pi)sin(tau+2pi),dtau = e^-2pi sintegral0^inftye^-stausin(tau+2pi),dtau

Passo 4

Usamos a identidade trigonométrica sin(tau+2pi)=sintaucos2pi+costausin2pi=sintau, pois cos2pi=1 e sin2pi=0. Assim:
L=e^-2pi sintegral0^inftye^-stausintau,dtau

Passo 5

Sabemos que
integral0^inftye^-stausintau,dtau=1s^2+1,Re(s)>0
Logo substituindo, obtemos
Lu(t-2pi)sin t=e^-2pi s1s^2+1

Resposta

\displaystyle \frac{e^{-2\pi s}}{s^{2}+1}

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