Curso: Bacharelado em Engenharia Mecânica
Profa. Vanísia Lima
Disciplina: Cálculo III
EXERCÍCIOS
Profa. Vanísia Lima
Disciplina: Cálculo III
Passo 1
A equação diferencial dada é uma EDO linear de primeira ordem:
. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.
Passo 2
O fator integrante
é definido por
. Como
, temos
. Assumindo
para simplificar, ficam
.
Passo 3
Multiplicamos toda a equação por
. Assim,
[ t,y’ + y = (1+t)e^t ]
e reconhecemos no lado esquerdo a derivada do produto , ou seja,
[ \frac{d}{dt}(t,y) = (1+t)e^t ].
[ t,y’ + y = (1+t)e^t ]
e reconhecemos no lado esquerdo a derivada do produto
[ \frac{d}{dt}(t,y) = (1+t)e^t ].
Passo 4
Integramos ambos os lados em relação a
:
[ \int \frac{d}{dt}(t,y),dt = \int (1+t)e^t,dt ].
[ \int \frac{d}{dt}(t,y),dt = \int (1+t)e^t,dt ].
Passo 5
No lado direito, separamos as integrais:
[ \int (1+t)e^t,dt = \int e^t,dt + \int t e^t,dt = e^t + (t-1)e^t = t e^t + C ].
Portanto obtemos
[ t,y = t e^t + C ].
[ \int (1+t)e^t,dt = \int e^t,dt + \int t e^t,dt = e^t + (t-1)e^t = t e^t + C ].
Portanto obtemos
[ t,y = t e^t + C ].
Passo 6
Por fim, isolamos
:
[ y = \frac{t e^t + C}{t} = e^t + \frac{C}{t} ].
[ y = \frac{t e^t + C}{t} = e^t + \frac{C}{t} ].