Curso: Bacharelado em Engenharia Mecânica
Profa. Vanísia Lima
Disciplina: Cálculo III

EXERCÍCIOS

y^prime+1t y=1+tt cdot e^t

Passo 1

A equação diferencial dada é uma EDO linear de primeira ordem: y' + 1ty = 1+tte^t. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

O fator integrante mu(t) é definido por mu(t)=expl(integral tfrac1t,dtr). Como integral tfrac1t,dt=ln|t|, temos mu(t)=|t|. Assumindo t>0 para simplificar, ficam mu(t)=t.

Passo 3

Multiplicamos toda a equação por mu(t)=t. Assim,
[ t,y’ + y = (1+t)e^t ]
e reconhecemos no lado esquerdo a derivada do produto t,y, ou seja,
[ \frac{d}{dt}(t,y) = (1+t)e^t ].

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a t:
[ \int \frac{d}{dt}(t,y),dt = \int (1+t)e^t,dt ].

Passo 5

No lado direito, separamos as integrais:
[ \int (1+t)e^t,dt = \int e^t,dt + \int t e^t,dt = e^t + (t-1)e^t = t e^t + C ].
Portanto obtemos
[ t,y = t e^t + C ].

Passo 6

Por fim, isolamos y:
[ y = \frac{t e^t + C}{t} = e^t + \frac{C}{t} ].

Resposta

y(t)=e^t+dfracCt

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