Curso: Bacharelado em Engenharia Mecânica
Profa. Vanísia Lima
Disciplina: Cálculo III

EXERCÍCIOS

Resolva d yd x=-x+2 y-52 x-y+4 mediante a substituição x=u+alpha, y=v+beta onde
alpha e beta são encontrados resolvendo -alpha+2 beta=5 e 2 alpha-2 beta=-4.

Passo 1

Temos a equação diferencial dydx=-x+2y-52x-y+4. O objetivo é usar o deslocamento x=u+alpha e y=v+beta para eliminar os termos constantes. Para isso precisamos encontrar alpha e beta de modo que os termos independentes em -x+2y-5 e em 2x-y+4 sejam nulos.

Passo 2

Resolvendo o sistema
-alpha+2beta=5, 2alpha-beta=-4
obtemos alpha=-1 e beta=2.

Passo 3

Fazendo a mudança x=u-1 e y=v+2, calculamos
dvdu= -[(u-1)]+2[(v+2)]-52[(u-1)]-[(v+2)]+4 =-u+1+2v+4-52u-2-v-2+4 =-u+2v2u-v,
que é homogênea de grau zero em (u,v).

Passo 4

Como dvdu é homogênea, fazemos v=zu. Então
dvdu=z+udzdu,
e substituindo na expressão obtemos
z+udzdu=-u+2(zu)2u-(zu)=-1+2z2-z

Passo 5

Isolando e separando variáveis:
udzdu=-1+2z2-z-z=z^2-12-z,
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2-zz^2-1,dz=duu
Usando frações parciais,
2-zz^2-1=121z-1-321z+1,
integramos e obtemos
12ln|z-1|-32ln|z+1|=ln|u|+C

Passo 6

Reescrevendo e voltando às variáveis originais:
(z-1)^1/2(z+1)^3/2=C,u,
onde z=v/u=(y-2)/(x+1) e u=x+1. Após simplificar, obtém-se a solução implícita
y-x-3=C,(x+y-1)^3

Resposta

y-x-3=C,(x+y-1)^3

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