Resolva pelo método da transformada de Laplace, mostrando os detathes do que fizer e representando graficamente a solução:
Passo 1
Estamos com um sistema acoplado de equações diferenciais de primeira ordem e vamos usar a transformada de Laplace para transformar o problema em álgebra no domínio de “s” e depois voltar ao domínio do tempo.
Definimos as transformadas e
. Aplicando
em cada equação e usando as condições iniciais
,
, obtemos:
Definimos as transformadas
Passo 2
Reagrupando, formamos o sistema linear em “s”:
Passo 3
Para resolver usamos Cramér (determinante
). Encontramos:
Passo 4
Fazendo frações parciais em
:
Passo 5
Aplicando a transformada inversa em cada termo:
Passo 6
De forma análoga, em
obtemos frações parciais:
Passo 7
E invertendo:
Passo 8
Para representar graficamente, basta plotar
e
como funções de
. Ambas combinam termos exponenciais crescentes/decrescentes e oscilações senoidais, resultando em curvas que partem de
,
e depois oscilam enquanto crescem/decrescem exponencialmente.