Resolva pelo método da transformada de Laplace, mostrando os detathes do que fizer e representando graficamente a solução:
y1^prime+y2=sen t, y2^prime+y1=-sen t, y1(0)=1, y2(0)=0

Passo 1

Estamos com um sistema acoplado de equações diferenciais de primeira ordem e vamos usar a transformada de Laplace para transformar o problema em álgebra no domínio de “s” e depois voltar ao domínio do tempo.
Definimos as transformadas Y1(s)=Ly1(t) e Y2(s)=Ly2(t). Aplicando L em cada equação e usando as condições iniciais y1(0)=1, y2(0)=0, obtemos:
sY1(s)-1 + Y2(s) = 1s^2+1
sY2(s) + Y1(s) = -1s^2+1

Passo 2

Reagrupando, formamos o sistema linear em “s”:
sY1(s) + Y2(s) = 1 + 1s^2+1
Y1(s) + sY2(s) = -1s^2+1

Passo 3

Para resolver usamos Cramér (determinante D=s^2-1). Encontramos:
Y1(s)=s^3+2s+1(s^2-1)(s^2+1), Y2(s)=-s^2+s+2(s^2-1)(s^2+1)

Passo 4

Fazendo frações parciais em Y1(s):
Y1(s)=1s-1+121s+1-12ss^2+1-121s^2+1

Passo 5

Aplicando a transformada inversa em cada termo:
y1(t)=e^t+tfrac12e^-t-tfrac12cos t-tfrac12sin t

Passo 6

De forma análoga, em Y2(s) obtemos frações parciais:
Y2(s)=-1s-1+121s+1+12ss^2+1+121s^2+1

Passo 7

E invertendo:
y2(t)=-e^t+tfrac12e^-t+tfrac12cos t+tfrac12sin t

Passo 8

Para representar graficamente, basta plotar y1(t) e y2(t) como funções de t. Ambas combinam termos exponenciais crescentes/decrescentes e oscilações senoidais, resultando em curvas que partem de y1(0)=1, y2(0)=0 e depois oscilam enquanto crescem/decrescem exponencialmente.

Resposta

y1(t)=e^t+tfrac12e^-t-tfrac12cos t-tfrac12sin t, y2(t)=-e^t+tfrac12e^-t+tfrac12cos t+tfrac12sin t

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