Encontre a transformada inversa (mostrando os detalhes do que fizer e indicando o método ou formula que estiver usando):
22 s^2+2 s+1

Passo 1

No enunciado a gente precisa encontrar a transformada inversa de Laplace de 22s^2+2s+1. O conteúdo aqui é inversão de Laplace usando completar o quadrado e a fórmula L^-1tfracb(s+a)^2+b^2=e^-atsin(bt).

Passo 2

Para simplificar, dividimos numerador e denominador por 2, ficando com
$$
\frac{2}{2s2+2s+1}=\frac{1}{s2+s+\tfrac12}\n$$

Passo 3

Agora a gente completa o quadrado no denominador:
s^2+s+tfrac12=(s+tfrac12)^2+tfrac12-tfrac14=(s+tfrac12)^2+(tfrac12)^2
Então
1s^2+s+tfrac12=1(s+tfrac12)^2+(tfrac12)^2

Passo 4

Para usar a fórmula de e^-atsin(bt) precisamos de tfracb(s+a)^2+b^2. Aqui a=tfrac12 e b=tfrac12, mas no numerador temos 1. Como
1(s+tfrac12)^2+(tfrac12)^2=2cdot(tfrac12)(s+tfrac12)^2+(tfrac12)^2
vemos que corresponde a 2,e^-tfrac12tsin(tfrac12t).

Resposta

f(t)=2 e^-t/2sin(t/2)

Exercícios relacionados