A curva
, determina a posição de uma partícula no instante
. Determine a distância percorrida pela partícula durante o intervalo de tempo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a curva
que mostra a posição de uma partícula no instante
. O objetivo é descobrir a distância que essa partícula percorre no intervalo de tempo de
a
. Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco em cálculo, que nos ajuda a calcular a distância percorrida ao longo de uma curva.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função posição
, que nos dá a velocidade da partícula. A derivada de
é:
Vamos calcular cada componente:
Para
:
Para
:
Então, a derivada fica:
Passo 3
Agora, para encontrar o comprimento do arco, usamos a fórmula:
Onde
é a norma da derivada, ou seja, a magnitude do vetor velocidade. Vamos calcular essa norma:
Simplificando:
Sabemos que
, então:
Mas como estamos lidando com distâncias, consideramos o valor absoluto:
Passo 4
Para integrar
de
a
, observamos que a função
é simétrica no intervalo. Podemos simplificar a integração da seguinte forma:
No intervalo
,
e
são positivos. No intervalo
,
é negativo e
é positivo, então
. Assim:
Passo 5
Vamos calcular as integrais:
Primeira integral:
Então,
Segunda integral:
Então,
Passo 6
Somando as duas integrais:
Resposta
A distância percorrida pela partícula no intervalo de tempo de
a
é 6 unidades.