A curva alpha(t)=(2 cos ^3 t, 2 sen^3 t), determina a posição de uma partícula no instante t. Determine a distância percorrida pela partícula durante o intervalo de tempo 0 <= t <= pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a curva alpha(t) = (2 cos^3 t, 2 sin^3 t) que mostra a posição de uma partícula no instante t. O objetivo é descobrir a distância que essa partícula percorre no intervalo de tempo de 0 a pi. Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco em cálculo, que nos ajuda a calcular a distância percorrida ao longo de uma curva.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função posição alpha(t), que nos dá a velocidade da partícula. A derivada de alpha(t) é:
alpha'(t) = ( ddt[2 cos^3 t], ddt[2 sin^3 t] )
Vamos calcular cada componente:
Para x(t) = 2 cos^3 t:
x'(t) = 2 cdot 3 cos^2 t cdot (-sin t) = -6 cos^2 t sin t
Para y(t) = 2 sin^3 t:
y'(t) = 2 cdot 3 sin^2 t cdot cos t = 6 sin^2 t cos t
Então, a derivada fica:
alpha'(t) = ( -6 cos^2 t sin t, 6 sin^2 t cos t )

Passo 3

Agora, para encontrar o comprimento do arco, usamos a fórmula:
Comprimento do arco = integrala^b |alpha'(t)| , dt
Onde |alpha'(t)| é a norma da derivada, ou seja, a magnitude do vetor velocidade. Vamos calcular essa norma:
|alpha'(t)| = raiz (-6 cos^2 t sin t)^2 + (6 sin^2 t cos t)^2
Simplificando:
|alpha'(t)| = raiz36 cos^4 t sin^2 t + 36 sin^4 t cos^2 t = 6 raiz cos^2 t sin^2 t (cos^2 t + sin^2 t)
Sabemos que cos^2 t + sin^2 t = 1, então:
|alpha'(t)| = 6 cos t sin t
Mas como estamos lidando com distâncias, consideramos o valor absoluto:
|alpha'(t)| = 6 |cos t sin t|

Passo 4

Para integrar |alpha'(t)| de 0 a pi, observamos que a função |cos t sin t| é simétrica no intervalo. Podemos simplificar a integração da seguinte forma:
integral0^pi 6 |cos t sin t| , dt = 6 ( integral0^pi2 cos t sin t , dt + integralpi2^pi |cos t sin t| , dt )
No intervalo [0, pi2], cos t e sin t são positivos. No intervalo [pi2, pi], cos t é negativo e sin t é positivo, então |cos t| = -cos t. Assim:
6 ( integral0^pi2 cos t sin t , dt + integralpi2^pi (-cos t) sin t , dt )

Passo 5

Vamos calcular as integrais:
Primeira integral:
integral cos t sin t , dt = 12 sin^2 t + C
Então,
integral0^pi2 cos t sin t , dt = 12 sin^2 (pi2) - 12 sin^2(0) = 12(1) - 0 = 12
Segunda integral:
integral (-cos t) sin t , dt = -12 sin^2 t + C
Então,
integralpi2^pi (-cos t) sin t , dt = -12 sin^2 (pi) + 12 sin^2 (pi2) = -0 + 12(1) = 12

Passo 6

Somando as duas integrais:
6 ( 12 + 12 ) = 6 times 1 = 6

Resposta

A distância percorrida pela partícula no intervalo de tempo de 0 a pi é 6 unidades.

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