Uma partícula se move com velocidade v(t)=\left(t^{2}, 2 t, 0\right). Se a posição inicial da partícula em t=1 é f(1)=(1,1,0), qual é a sua posição f(3) em t=3 ?

Passo 1

O enunciado nos dá a velocidade de uma partícula como \mathbf{v}(t) = (t^2,\,2t,\,0) e a posição inicial em t=1 como \mathbf{f}(1) = (1,1,0). O conteúdo é integração de vetores: como \mathbf{f}'(t)=\mathbf{v}(t), basta integrar componente a componente e usar a condição inicial para determinar as constantes de integração.

Passo 2

Integramos componente a componente. Seja \mathbf{f}(t)=(x(t),y(t),z(t)). Como
x'(t)=t^2,\quad y'(t)=2t,\quad z'(t)=0,
integramos:
x(t)=\int t^2\,dt=\frac{t^3}{3}+C_1,
y(t)=\int 2t\,dt=t^2 + C_2,
z(t)=\int 0\,dt=C_3.

Passo 3

Usamos a condição \mathbf{f}(1)=(1,1,0) para achar C_1,C_2,C_3.
Em t=1:
x(1)=\frac{1^3}{3}+C_1=1\implies C_1=1-\frac13=\frac{2}{3},
y(1)=1^2+C_2=1\implies C_2=0,
z(1)=C_3=0\implies C_3=0.
Logo
\mathbf{f}(t)=\Bigl(\frac{t^3}{3}+\frac23,\;t^2,\;0\Bigr).

Passo 4

Para obter \mathbf{f}(3), basta substituir t=3:
x(3)=\frac{3^3}{3}+\frac23=9+\frac23=\frac{29}{3},\quad y(3)=3^2=9,\quad z(3)=0.

Resposta

\mathbf{f}(3)=\Bigl(\tfrac{29}{3},\,9,\,0\Bigr).

Exercícios relacionados