Determine a curvatura \kappa da parábola f(t)=\left(t, t^{2}, 0\right) no ponto (1,1,0).

Passo 1

O enunciado pede a curvatura \kappa da curva tridimensional parametrizada por
f(t) = \bigl(t,\;t^2,\;0\bigr)
no ponto \bigl(1,1,0\bigr).
O conteúdo é a definição de curvatura para curvas em \mathbb{R}^3. Vamos usar a fórmula
\kappa(t) \;=\;\frac{\bigl\|r'(t)\times r''(t)\bigr\|}{\bigl\|r'(t)\bigr\|^3},
onde r(t)=f(t).

Passo 2

Calculamos as derivadas primeira e segunda de r(t):
r'(t) = \bigl(1,\;2t,\;0\bigr), \qquad r''(t) = \bigl(0,\;2,\;0\bigr).
No ponto t=1, temos
r'(1) = (1,2,0), \qquad r''(1) = (0,2,0).

Passo 3

Formamos o produto vetorial r'(1)\times r''(1) e calculamos a norma:
r'(1)\times r''(1) = (1,2,0)\times(0,2,0) = \bigl(0,\;0,\;1\cdot2 - 2\cdot0\bigr) = (0,0,2),
\bigl\|r'(1)\times r''(1)\bigr\| = \sqrt{0^2+0^2+2^2} = 2.

Passo 4

Calculamos \|r'(1)\| e elevamos ao cubo:
\|r'(1)\| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{5}, \qquad \|r'(1)\|^3 = (\sqrt{5})^3 = 5\sqrt{5}.

Passo 5

Substituindo na fórmula da curvatura:
\kappa(1) = \frac{\bigl\|r'(1)\times r''(1)\bigr\|}{\|r'(1)\|^3} = \frac{2}{5\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{25}.

Resposta

A curvatura no ponto (1,1,0) é
\kappa = \frac{2}{5\sqrt{5}}.

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