Questão 3 ( 2.5 ponto) Considere a função
a) ( 1.0 ponto) Calcule a transformada de Laplace de
usando a definição.
b) ( 0.5 ponto) Calcule a transformada de Laplace de
usando a propriedade 10 [Dica: use o item 8 para verificar suas contas].
c) (1.0 ponto) Calcule a transformada de Laplace de
usando a propriedade 11. [Dica: use o item 39 para verificar suas contas].
b) ( 0.5 ponto) Calcule a transformada de Laplace de
c) (1.0 ponto) Calcule a transformada de Laplace de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três transformadas de Laplace:
(a) calcular usando a definição;
(b) calcular usando a propriedade 10 (dica: usar o item 8 para checar);
(c) calcular usando a propriedade 11 (dica: usar o item 39 para checar).
Informações relevantes fornecidas: a expressão de e as indicações das propriedades que devemos usar. Não há valores numéricos para
e
, portanto nossas respostas ficarão em termos de
,
e
. A região de convergência será indicada quando necessário.
(a) calcular
(b) calcular
(c) calcular
Informações relevantes fornecidas: a expressão de
Passo 2
Lembrete da definição da transformada de Laplace e uma propriedade básica que vamos usar.
A definição é:
A definição é:
onde a integral impropria converge para valores de
adequados (normalmente
maior que certos limites).
Também usaremos a linearidade:
Também usaremos a linearidade:
Passo 3
Calcular
e
pela definição (isto é o item 8 indicado na dica).
Começando por :
Começando por
Esta é uma integral exponencial imprópria. Para convergir precisamos de
, isto é
. Integrando:
portanto
Analogamente,
Passo 4
Usando linearidade, a transformada de
é a diferença das transformadas encontradas:
A região de convergência comum é
, pois precisamos que ambas as transformadas individuais existam.
Passo 5
Agora a propriedade 10: explicação didática e aplicação.
A propriedade 10 (derivada em relação a ) é:
A propriedade 10 (derivada em relação a
Intuição breve: multiplicar por
no domínio do tempo corresponde a diferenciar (com sinal negativo) no domínio
; isso pode ser obtido diferenciando sob o sinal integral a definição da transformada (justifique o uso da diferenciação sob o integral para funções com decaimento adequado). Vamos usar essa propriedade com
.
Passo 6
Aplicar a propriedade 10 ao resultado de
. Já temos
Calculamos a derivada
:
Portanto
Usando a propriedade,
Verificação rápida (dica do item 8): como
, por linearidade
, que coincide com o que encontramos.
Passo 7
Agora a propriedade 11: explicação didática e aplicação.
A propriedade 11 que vamos usar é (forma útil):
A propriedade 11 que vamos usar é (forma útil):
valendo para
na região de convergência adequada (a integral impropria em
deve convergir). A ideia: dividir por
no domínio do tempo corresponde a integrar a transformada em
. Vamos aplicar com
.
Passo 8
Aplicar a propriedade 11 com
. Calculamos a integral:
Observe que uma primitiva para o integrando é
pois
. Avaliando de
até
:
logo
Simplificando o sinal:
válido para
(para garantir que o log aplicado às quantidades positivas reais faça sentido quando
são reais; em caso complexo deve-se considerar ramo principal do log).
Passo 9
Verificação (dica do item 39): derivando a expressão obtida para
em
vemos se recuperamos
, como esperado por diferenciação da integral em
. De fato,
portanto a verificação confere e a constante de integração é a correta (a integral no infinito tende a zero), confirmando o resultado.
Resposta
(a)
,
(b) ,
(c) ,
(b)
(c)