Questão 3 ( 2.5 ponto) Considere a função
f(t)=e^{a t}-e^{b t}
a) ( 1.0 ponto) Calcule a transformada de Laplace de f(t) usando a definição.
b) ( 0.5 ponto) Calcule a transformada de Laplace de t f(t) usando a propriedade 10 [Dica: use o item 8 para verificar suas contas].
c) (1.0 ponto) Calcule a transformada de Laplace de \frac{f(t)}{t} usando a propriedade 11. [Dica: use o item 39 para verificar suas contas].

Passo 1

O enunciado dá a função
f(t)=e^{a t}-e^{b t}
e pede três transformadas de Laplace:
(a) calcular \mathcal{L}\{f(t)\} usando a definição;
(b) calcular \mathcal{L}\{t\,f(t)\} usando a propriedade 10 (dica: usar o item 8 para checar);
(c) calcular \mathcal{L}\{\tfrac{f(t)}{t}\} usando a propriedade 11 (dica: usar o item 39 para checar).
Informações relevantes fornecidas: a expressão de f(t) e as indicações das propriedades que devemos usar. Não há valores numéricos para a e b, portanto nossas respostas ficarão em termos de a, b e s. A região de convergência será indicada quando necessário.

Passo 2

Lembrete da definição da transformada de Laplace e uma propriedade básica que vamos usar.
A definição é:
\mathcal{L}\{g(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,g(t)\,dt,
onde a integral impropria converge para valores de s adequados (normalmente \Re(s) maior que certos limites).
Também usaremos a linearidade:
\mathcal{L}\{g_1(t)+g_2(t)\}=\mathcal{L}\{g_1(t)\}+\mathcal{L}\{g_2(t)\}.

Passo 3

Calcular \mathcal{L}\{e^{a t}\} e \mathcal{L}\{e^{b t}\} pela definição (isto é o item 8 indicado na dica).
Começando por \mathcal{L}\{e^{a t}\}:
\mathcal{L}\{e^{a t}\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}e^{a t}\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-(s-a)t}\,dt.
Esta é uma integral exponencial imprópria. Para convergir precisamos de \Re(s-a)>0, isto é \Re(s)>\Re(a). Integrando:
\int_{0}^{\infty} e^{-(s-a)t}\,dt=\left[\frac{e^{-(s-a)t}}{-(s-a)}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{s-a},
portanto
\mathcal{L}\{e^{a t}\}(s)=\frac{1}{s-a}\quad\text{para }\Re(s)>\Re(a).
Analogamente,
\mathcal{L}\{e^{b t}\}(s)=\frac{1}{s-b}\quad\text{para }\Re(s)>\Re(b).

Passo 4

Usando linearidade, a transformada de f(t)=e^{a t}-e^{b t} é a diferença das transformadas encontradas:
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\frac{1}{s-a}-\frac{1}{s-b}.
A região de convergência comum é \Re(s)>\max\{\Re(a),\Re(b)\}, pois precisamos que ambas as transformadas individuais existam.

Passo 5

Agora a propriedade 10: explicação didática e aplicação.
A propriedade 10 (derivada em relação a s) é:
\mathcal{L}\{t\,g(t)\}(s)=-\frac{d}{ds}\mathcal{L}\{g(t)\}(s).
Intuição breve: multiplicar por t no domínio do tempo corresponde a diferenciar (com sinal negativo) no domínio s; isso pode ser obtido diferenciando sob o sinal integral a definição da transformada (justifique o uso da diferenciação sob o integral para funções com decaimento adequado). Vamos usar essa propriedade com g(t)=f(t).

Passo 6

Aplicar a propriedade 10 ao resultado de \mathcal{L}\{f(t)\}. Já temos
F(s)\equiv\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\frac{1}{s-a}-\frac{1}{s-b}.
Calculamos a derivada dF/ds:
\frac{d}{ds}\left(\frac{1}{s-a}\right)=-\frac{1}{(s-a)^{2}},\qquad \frac{d}{ds}\left(\frac{1}{s-b}\right)=-\frac{1}{(s-b)^{2}}.
Portanto
\frac{dF}{ds}=-\frac{1}{(s-a)^{2}}+\frac{1}{(s-b)^{2}}.
Usando a propriedade,
\mathcal{L}\{t\,f(t)\}(s)=-\frac{dF}{ds}=\frac{1}{(s-a)^{2}}-\frac{1}{(s-b)^{2}}.
Verificação rápida (dica do item 8): como \mathcal{L}\{t e^{a t}\}=\frac{1}{(s-a)^{2}}, por linearidade \mathcal{L}\{t f(t)\}=\frac{1}{(s-a)^{2}}-\frac{1}{(s-b)^{2}}, que coincide com o que encontramos.

Passo 7

Agora a propriedade 11: explicação didática e aplicação.
A propriedade 11 que vamos usar é (forma útil):
\mathcal{L}\left\{\frac{g(t)}{t}\right\}(s)=\int_{s}^{\infty} \mathcal{L}\{g(t)\}(u)\,du,
valendo para s na região de convergência adequada (a integral impropria em u deve convergir). A ideia: dividir por t no domínio do tempo corresponde a integrar a transformada em s. Vamos aplicar com g(t)=f(t).

Passo 8

Aplicar a propriedade 11 com F(u)=\mathcal{L}\{f(t)\}(u)=\frac{1}{u-a}-\frac{1}{u-b}. Calculamos a integral:
\mathcal{L}\left\{\frac{f(t)}{t}\right\}(s)=\int_{s}^{\infty}\left(\frac{1}{u-a}-\frac{1}{u-b}\right)du.
Observe que uma primitiva para o integrando é
\ln\!\left(\frac{u-a}{u-b}\right),
pois \frac{d}{du}\ln\!\left(\frac{u-a}{u-b}\right)=\frac{1}{u-a}-\frac{1}{u-b}. Avaliando de u=s até u\to\infty:
\lim_{u\to\infty}\ln\!\left(\frac{u-a}{u-b}\right)=\ln(1)=0,
logo
\mathcal{L}\left\{\frac{f(t)}{t}\right\}(s)=0-\ln\!\left(\frac{s-a}{s-b}\right)=-\ln\!\left(\frac{s-a}{s-b}\right).
Simplificando o sinal:
\mathcal{L}\left\{\frac{f(t)}{t}\right\}(s)=\ln\!\left(\frac{s-b}{s-a}\right),
válido para \Re(s)>\max\{\Re(a),\Re(b)\} (para garantir que o log aplicado às quantidades positivas reais faça sentido quando a,b são reais; em caso complexo deve-se considerar ramo principal do log).

Passo 9

Verificação (dica do item 39): derivando a expressão obtida para \mathcal{L}\{\tfrac{f(t)}{t}\} em s vemos se recuperamos -\mathcal{L}\{f(t)\}, como esperado por diferenciação da integral em s. De fato,
\frac{d}{ds}\ln\!\left(\frac{s-b}{s-a}\right)=\frac{1}{s-b}-\frac{1}{s-a}=-\left(\frac{1}{s-a}-\frac{1}{s-b}\right)=-\mathcal{L}\{f(t)\}(s),
portanto a verificação confere e a constante de integração é a correta (a integral no infinito tende a zero), confirmando o resultado.

Resposta

(a) \displaystyle \mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\frac{1}{s-a}-\frac{1}{s-b}, \Re(s)>\max\{\Re(a),\Re(b)\}
(b) \displaystyle \mathcal{L}\{t\,f(t)\}(s)=\frac{1}{(s-a)^{2}}-\frac{1}{(s-b)^{2}}, \Re(s)>\max\{\Re(a),\Re(b)\}
(c) \displaystyle \mathcal{L}\!\left\{\frac{f(t)}{t}\right\}(s)=\ln\!\left(\frac{s-b}{s-a}\right), \Re(s)>\max\{\Re(a),\Re(b)\}

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