Questão 4 (2.5 ponto) A temperatura em um forno industrial evolui no tempo conforme o seguinte modelo simplificado:
\left\{\begin{array}{l} v^{\prime}(t)=-2\left(v(t)-T_{a}\right)+q(t) \\\ q(t)=2 \int_{0}^{t}\left(T_{f}-v(\tau)\right) d \tau+\left(T_{f}-v(t)\right) \\\ v(0)=20 \end{array}\right.
onde v(t) representa a temperatura medida no forno, T_{a}=20^{0} \mathrm{C} é temperatura ambiente, T_{f}=100^{0} \mathrm{C} é temperatura de controle, q(t) é a potência de aquecimento. Use as técnicas das transformadas de Laplace para resolver o problema acima.
a) (1.5) Calcule as transformadas de Laplace V(s)=\mathcal{L}\{v(t)\} e Q(s)=\mathcal{L}\{q(t)\} e preencha os retângulos abaixo:
\mathrm{V}(\mathrm{~s})=
\mathrm{Q}(\mathrm{~s})=
b) (1.0) Calcule v(t)=\mathcal{L}^{-1}\{V(s)\} e q(t)=\mathcal{L}^{-1}\{Q(s)\} e preencha os retângulos abaixo:
\mathrm{v}(\mathrm{t})=
\mathrm{q}(\mathrm{t})=

Passo 1

O enunciado pede que, usando transformadas de Laplace, a gente resolva o sistema inicial:
\left\{\begin{array}{l} v^{\prime}(t)=-2\left(v(t)-T_{a}\right)+q(t)\\[4pt] q(t)=2\displaystyle\int_{0}^{t}\left(T_{f}-v(\tau)\right)\,d\tau+\left(T_{f}-v(t)\right)\\[4pt] v(0)=20 \end{array}\right.
Informações dadas:
T_{a}=20,\qquad T_{f}=100,\qquad v(0)=20.
O enunciado faz duas perguntas:
  1. Calcular as transformadas de Laplace V(s)=\mathcal{L}\{v(t)\} e Q(s)=\mathcal{L}\{q(t)\}.
  2. Calcular v(t)=\mathcal{L}^{-1}\{V(s)\} e q(t)=\mathcal{L}^{-1}\{Q(s)\}.
A partir daqui vamos aplicar a transformada de Laplace nas duas equações, usar propriedades (derivada, transformada de integral) e resolver algébrica e inversamente.]

Passo 2

Anotações e regras que vamos usar (curtinho e direto):
  • Se V(s)=\mathcal{L}\{v(t)\} então \mathcal{L}\{v'(t)\}=sV(s)-v(0). Vou usar isso na equação diferencial.
  • \mathcal{L}\{c\}=\dfrac{c}{s} para constante c.
  • Se F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\} então \mathcal{L}\{\displaystyle\int_0^t f(\tau)\,d\tau\}=\dfrac{1}{s}F(s).
Agora aplico a transformada de Laplace à primeira equação \;v'(t)=-2(v(t)-T_a)+q(t)\;. Usando \mathcal{L}\{v'\}=sV(s)-v(0) e \mathcal{L}\{v(t)-T_a\}=V(s)-\dfrac{T_a}{s}, obtemos:
sV(s)-v(0)=-2\Bigl(V(s)-\dfrac{T_a}{s}\Bigr)+Q(s).
Substituo v(0)=20 e T_a=20:
sV(s)-20=-2\Bigl(V(s)-\dfrac{20}{s}\Bigr)+Q(s).

Passo 3

Agora transformo a segunda equação
q(t)=2\int_{0}^{t}\bigl(T_f-v(\tau)\bigr)\,d\tau+\bigl(T_f-v(t)\bigr).
Usando a regra da transformada da integral e que \mathcal{L}\{T_f\}=\dfrac{T_f}{s}, tenho
Q(s)=2\cdot\frac{1}{s}\Bigl(\frac{T_f}{s}-V(s)\Bigr)+\Bigl(\frac{T_f}{s}-V(s)\Bigr).
Coloco somando os termos fatorados:
Q(s)=\Bigl(\frac{2}{s}+1\Bigr)\Bigl(\frac{T_f}{s}-V(s)\Bigr)=\frac{s+2}{s}\Bigl(\frac{T_f}{s}-V(s)\Bigr).

Passo 4

Volto à equação da Passo 2 e reorganizo:
sV(s)-20=-2V(s)+\frac{40}{s}+Q(s),
pois -2\bigl(-\dfrac{20}{s}\bigr)=\dfrac{40}{s}. Reescrevo isolando (s+2)V(s):
(s+2)V(s)=Q(s)+\frac{40}{s}+20.
Agora substituo Q(s)=\dfrac{s+2}{s}\bigl(\dfrac{T_f}{s}-V(s)\bigr) com T_f=100:
(s+2)V(s)=\frac{s+2}{s}\Bigl(\frac{100}{s}-V(s)\Bigr)+\frac{40}{s}+20.
Multiplico tudo por s para evitar frações intermediárias:
s(s+2)V(s)=(s+2)\Bigl(\frac{100}{s}-V(s)\Bigr)+40+20s.
Expando o lado direito e trago o termo com V(s) para o lado esquerdo:
s(s+2)V(s)+(s+2)V(s)=(s+2)\frac{100}{s}+40+20s.
No lado esquerdo fatoro (s+2)V(s):
(s+2)V(s)(s+1)=(s+2)\Bigl(\frac{100}{s}+20\Bigr).
Posso simplificar dividindo por (s+2) (válido para manipulação algébrica simbólica):
(s+1)V(s)=\frac{100}{s}+20.
Portanto
V(s)=\frac{\dfrac{100}{s}+20}{s+1}.

Passo 5

Agora simplifico V(s) em frações parciais para inverter facilmente. Primeiro escrevo:
V(s)=\frac{100}{s(s+1)}+\frac{20}{s+1}.
Note que \dfrac{100}{s(s+1)}=100\Bigl(\dfrac{1}{s}-\dfrac{1}{s+1}\Bigr). Assim
V(s)=100\Bigl(\dfrac{1}{s}-\dfrac{1}{s+1}\Bigr)+\dfrac{20}{s+1} = \dfrac{100}{s}-\dfrac{80}{s+1}.
Isso resolve a parte (a) para V(s). Vou agora achar Q(s). Uma relação prática que tínhamos é
(s+2)V(s)=Q(s)+\frac{40}{s}+20,
logo
Q(s)=(s+2)V(s)-\frac{40}{s}-20.
Substituo V(s)=\dfrac{100}{s}-\dfrac{80}{s+1}:
calculo (s+2)V(s)=(s+2)\Bigl(\dfrac{100}{s}-\dfrac{80}{s+1}\Bigr).
Trabalhando os termos separadamente e simplificando (detalhes algébricos):
(s+2)\dfrac{100}{s}=100+ \dfrac{200}{s},\qquad (s+2)\dfrac{80}{s+1}=80+\dfrac{80}{s+1}.
Assim
(s+2)V(s)=\bigl(100+\dfrac{200}{s}\bigr)-\bigl(80+\dfrac{80}{s+1}\bigr) =20+\dfrac{200}{s}-\dfrac{80}{s+1}.
Subtraindo \dfrac{40}{s}+20 obtemos
Q(s)=\Bigl(20+\dfrac{200}{s}-\dfrac{80}{s+1}\Bigr)-\dfrac{40}{s}-20 =\dfrac{160}{s}-\dfrac{80}{s+1}.
Portanto Q(s)=\dfrac{160}{s}-\dfrac{80}{s+1}. Isso completa a parte (a).

Passo 6

Agora inverto as transformadas para obter v(t) e q(t).
Regras usadas:
  • \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{1}{s}\}=1 (constante 1).
  • \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{1}{s+a}\}=e^{-at}.
Para V(s)=\dfrac{100}{s}-\dfrac{80}{s+1}:
v(t)=100-80e^{-t}.
Verificação rápida: v(0)=100-80=20, compatível com a condição inicial.
Para Q(s)=\dfrac{160}{s}-\dfrac{80}{s+1}:
q(t)=160-80e^{-t}.
Verificação rápida: q(0)=160-80=80. Pela definição de q(t) no tempo zero temos q(0)=2\cdot 0+(T_f-v(0))=100-20=80, bate certinho.

Resposta

\mathrm{V}(s)=\dfrac{100}{s}-\dfrac{80}{s+1}
\mathrm{Q}(s)=\dfrac{160}{s}-\dfrac{80}{s+1}
\mathrm{v}(t)=100-80e^{-t}
\mathrm{q}(t)=160-80e^{-t}

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