Questão 4 (2.5 ponto) A temperatura em um forno industrial evolui no tempo conforme o seguinte modelo simplificado:
\left\{\begin{array}{l} v^{\prime}(t)=-2\left(v(t)-T_{a}\right)+q(t) \\\ q(t)=2 \int_{0}^{t}\left(T_{f}-v(\tau)\right) d \tau+\left(T_{f}-v(t)\right) \\\ v(0)=20 \end{array}\right.
onde v(t) representa a temperatura medida no forno, T_{a}=20^{0} \mathrm{C} é temperatura ambiente, T_{f}=100^{0} \mathrm{C} é temperatura de controle, q(t) é a potência de aquecimento. Use as técnicas das transformadas de Laplace para resolver o problema acima.
a) (1.5) Calcule as transformadas de Laplace V(s)=\mathcal{L}\{v(t)\} e Q(s)=\mathcal{L}\{q(t)\} e preencha os retângulos abaixo:
\mathrm{V}(\mathrm{~s})=
\mathrm{Q}(\mathrm{~s})=
b) (1.0) Calcule v(t)=\mathcal{L}^{-1}\{V(s)\} e q(t)=\mathcal{L}^{-1}\{Q(s)\} e preencha os retângulos abaixo:
\mathrm{v}(\mathrm{t})=
\mathrm{q}(\mathrm{t})=
Passo 1
O enunciado pede que, usando transformadas de Laplace, a gente resolva o sistema inicial:
Calcular as transformadas de Laplace V(s)=\mathcal{L}\{v(t)\} e Q(s)=\mathcal{L}\{q(t)\}.
Calcular v(t)=\mathcal{L}^{-1}\{V(s)\} e q(t)=\mathcal{L}^{-1}\{Q(s)\}.
A partir daqui vamos aplicar a transformada de Laplace nas duas equações, usar propriedades (derivada, transformada de integral) e resolver algébrica e inversamente.]
Passo 2
Anotações e regras que vamos usar (curtinho e direto):
Se V(s)=\mathcal{L}\{v(t)\} então \mathcal{L}\{v'(t)\}=sV(s)-v(0). Vou usar isso na equação diferencial.
\mathcal{L}\{c\}=\dfrac{c}{s} para constante c.
Se F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\} então \mathcal{L}\{\displaystyle\int_0^t f(\tau)\,d\tau\}=\dfrac{1}{s}F(s).
Agora aplico a transformada de Laplace à primeira equação \;v'(t)=-2(v(t)-T_a)+q(t)\;. Usando \mathcal{L}\{v'\}=sV(s)-v(0) e \mathcal{L}\{v(t)-T_a\}=V(s)-\dfrac{T_a}{s}, obtemos: