1. Curva sem Compensação e Atrito
    … (Halliday, Cap. 6, Problema 43) Qual é o menor raio de uma curva sem compensação (plana) que permite que um ciclista a 29 \mathrm{~km} / \mathrm{h} faça a curva sem derrapar se o coeficiente de atrito estático entre os pneus e a pista é 0,32 ?

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados e pede uma coisa clara:
  • Velocidade do ciclista: 29\\ \mathrm{km/h}.
  • Coeficiente de atrito estático entre pneus e pista: \mu_s = 0,32.
  • Pede: o menor raio de uma curva plana (sem compensação) que permita fazer a curva sem derrapar.
Nada mais foi fornecido. A partir desses dados vamos transformar a velocidade para unidades SI e usar a condição de que a força de atrito máxima deve ser suficiente para fornecer a força centrípeta necessária.

Passo 2

Converter a velocidade para metros por segundo (unidades do Sistema Internacional):
v = 29\\ \mathrm{km/h} = 29 \times \frac{1000}{3600}\\ \mathrm{m/s} = \frac{145}{18}\\ \mathrm{m/s} \approx 8,06\\ \mathrm{m/s}.
Explicando rapidamente: multiplicar por 1000/3600 transforma quilômetros por hora em metros por segundo; \dfrac{1000}{3600}=\dfrac{5}{18}, por isso 29\cdot\dfrac{5}{18}=\dfrac{145}{18}.

Passo 3

Raciocínio físico e fórmulas envolvidas (passo-a-passo didático):
  • Para um objeto em movimento circular com rapidez v e raio r, a aceleração centrípeta vale
a_c = \frac{v^2}{r}.
Isto significa que a força centrípeta exigida é
F_c = m a_c = m\frac{v^2}{r},
onde m é a massa do ciclista+bicicleta.
  • Numa curva plana sem inclinação, a única força horizontal que pode fornecer F_c é a força de atrito estático entre pneus e pista. O valor máximo da força de atrito estático é
F_{\text{atrito,max}} = \mu_s N,
onde N é a força normal. Em uma superfície horizontal sem outras forças verticais além do peso, N = mg. Logo
F_{\text{atrito,max}} = \mu_s mg.
  • Para o ciclista não derrapar, a força centrípeta necessária deve ser menor ou igual à força de atrito máxima:
m\frac{v^2}{r} \le \mu_s mg.
Essa desigualdade é a condição de segurança. Agora simplificamos: o m aparece dos dois lados e cancela, ficando
\frac{v^2}{r} \le \mu_s g.
Isolando r obtemos a condição para o menor raio permitido:
r \ge \frac{v^2}{\mu_s g}.
Observação didática: o fato de a massa cancelar é útil — o raio mínimo não depende da massa do ciclista, apenas da velocidade, do coeficiente de atrito e da gravidade.

Passo 4

Substituir os valores numéricos e calcular passo a passo.
Primeiro calcular v^2. Usando v=\dfrac{145}{18}\\ \mathrm{m/s}:
v^2 = \left(\frac{145}{18}\right)^2 = \frac{21025}{324} \approx 64,91\\ \mathrm{m^2/s^2}.
Calcular \mu_s g com g \approx 9,8\\ \mathrm{m/s^2}:
\mu_s g = 0,32 \times 9,8 = 3,136\\ \mathrm{m/s^2}.
Agora o menor raio:
r_{\min} = \frac{v^2}{\mu_s g} = \frac{21025/324}{3,136} = \frac{21025}{1016,064} \approx 20,7\\ \mathrm{m}.
Explicando a ordem de grandeza: a velocidade de cerca de 8\\ \mathrm{m/s} ao quadrado dá ~65; dividindo por um valor de aceleração \mu_s g ~3,1 resulta em cerca de 21 metros.

Passo 5

Interpretação final e dica para prova
  • Resultado: o raio mínimo é aproximadamente 20,7\\ \mathrm{m}. Ou seja, se a curva tiver raio menor que isso, a força de atrito necessária para manter o ciclista na trajetória excede o máximo disponível e ele derrapará.
  • Dica rápida para prova: memorize a fórmula útil para curvas planas sem inclinação
r_{\min}=\frac{v^2}{\mu_s g},
e sempre converta v para \mathrm{m/s} antes de aplicar.
Força aí — você chega lá!

Resposta

20,7\\ \mathrm{m}

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