1. Julgue os itens: verdadeiro ou falso. Justifique a sua escolha.
(ii) ( ) O fluxo do campo magnético através da superfície da Austrália é igual, em módulo, ao fluxo do campo magnético através do restante da superfície da Terra.

Passo 1

O item pede que eu julgue como verdadeiro ou falso e justifique:
“O fluxo do campo magnético através da superfície da Austrália é igual, em módulo, ao fluxo do campo magnético através do restante da superfície da Terra.”
Informações dadas/usadas (implícitas no enunciado):
  • Existe um campo magnético \mathbf{B} no espaço em torno da Terra.
  • A superfície da Terra é uma superfície fechada S que pode ser dividida em duas partes complementares: S_A (a superfície correspondente à Austrália) e S_R (o resto da superfície da Terra).
    O que se pede: decidir se a afirmação é verdadeira ou falsa e justificar claramente.

Passo 2

Definição de fluxo magnético (o que é e como se calcula).
O fluxo do campo magnético através de uma superfície S é a integral do produto escalar entre \mathbf{B} e o elemento de área orientado d\mathbf{A}:
\Phi_S=\int_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{A}.
Aqui d\mathbf{A} é um vetor com direção normal à superfície em cada ponto e módulo igual à área infinitesimal; para uma superfície que faz parte de uma superfície fechada, a convenção usual é tomar d\mathbf{A} apontando para fora do volume encerrado (normal exterior). O sinal da integral pode ser positivo ou negativo conforme \mathbf{B} saia ou entre no volume.

Passo 3

Lei de Gauss para o campo magnético (fórmula e significado físico).
A lei de Gauss para o magnetismo diz que não existem monopólos magnéticos; formalmente,
\boxed{\nabla\cdot\mathbf{B}=0.}
Aplicando o teorema da divergência (Gauss) numa região V cuja fronteira é a superfície fechada S obtém-se
\oint_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{A}=\int_{V}(\nabla\cdot\mathbf{B})\,dV=0.
Portanto o fluxo total de \mathbf{B} através de qualquer superfície fechada é zero:
\oint_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{A}=0.
Intuitivamente: linhas de \mathbf{B} não começam nem terminam dentro do volume — aquilo que “sai” por uma parte da superfície entra por outra.

Passo 4

Dividir a superfície fechada e relacionar os fluxos das partes.
Como a superfície da Terra S foi dividida em S_A (Austrália) e S_R (restante), a integral sobre S é soma das integrais sobre as partes:
\oint_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{A}=\int_{S_A}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{A}+\int_{S_R}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{A}.
Denotando \Phi_A=\int_{S_A}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{A} e \Phi_R=\int_{S_R}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{A}, a igualdade anterior e o resultado da Gauss para \mathbf{B} dão
\Phi_A+\Phi_R=0 \quad\Rightarrow\quad \Phi_A=-\Phi_R.
Tomando módulos:
\lvert\Phi_A\rvert=\lvert\Phi_R\rvert.
Ou seja, o fluxo através de S_A tem o mesmo valor em módulo que o fluxo através do restante S_R. A diferença está apenas no sinal (direção do fluxo), que depende da orientação das linhas (saída versus entrada).

Passo 5

Interpretação física e observações finais (didática, exemplo mental).
Fisicamente: como não existem fontes nem sumidouros de campo magnético (sem monopolos), qualquer quantidade de fluxo que sai por um pedaço da superfície precisa entrar pela outra parte. Se imaginar linhas de campo que atravessam a superfície no trecho da Austrália saindo do volume, o mesmo número de linhas atravessará o resto da superfície entrando de volta, garantindo igualdade de módulos.
Observação de cuidado: é essencial que as duas áreas juntas formem a superfície fechada S com as normais exteriores bem definidas; com essa convenção a derivação acima vale sem exceções.

Resposta

Verdadeiro

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