1. Aceleração Acoplada pelo Atrito Estático ⋯ (Halliday, Cap. 6, Problema 35) Os dois blocos ( m=16 \mathrm{~kg} e M=88 \mathrm{~kg} ) da Fig. 6-38 não estão ligados. O coeficiente de atrito estático entre os blocos é \mu_{s}=0,38, mas não há atrito na superfície abaixo do bloco maior. Qual é o menor valor do módulo da força horizontal \vec{F} para o qual o bloco menor não escorrega para baixo ao longo do bloco maior?

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o menor valor do módulo da força horizontal \vec{F} para que o bloco menor não escorregue para baixo ao longo do bloco maior.
Informações dadas (retiradas da figura e do enunciado):
  • Massa do bloco menor: m=16\\ \mathrm{kg}.
  • Massa do bloco maior: M=88\\ \mathrm{kg}.
  • Coeficiente de atrito estático entre os blocos: \mu_{s}=0,38.
  • Não há atrito entre o bloco maior e o chão.
  • A força horizontal \vec{F} é aplicada ao bloco menor, empurrando-o contra a face vertical do bloco maior.
  • Queremos o menor valor de F tal que o bloco menor NÃO escorregue para baixo.

Passo 2

Condição vertical para o bloco menor (equilíbrio vertical).
  • Desenho mental rápido: a superfície de contato é vertical, logo as forças verticais sobre o bloco menor são o peso para baixo m g e a força de atrito estático para cima f_s exercida pelo bloco maior.
  • Para que o bloco menor não desça, a soma das forças verticais deve ser zero (não há aceleração vertical). Assim:
f_s - m g = 0 \quad\Rightarrow\quad f_s = m g.
  • Além disso, a força de atrito estático máxima disponível é
f_{s,\max}=\mu_{s} N,
onde N é a força normal (horizontal) que o bloco maior exerce sobre o bloco menor. Para que não haja deslizamento, é necessário que
f_{s,\max}\ge f_s \quad\Rightarrow\quad \mu_{s} N \ge m g.
Essa é a condição central: precisamos que N seja pelo menos \dfrac{m g}{\mu_{s}}.
Explicação didática curta sobre esses conceitos:
  • A força normal N é a reação horizontal entre os blocos (sempre perpendicular à superfície de contato).
  • A força de atrito estático máxima \mu_{s}N é o limite do atrito que pode agir sem ocorrer deslizamento; se o atrito necessário para manter equilíbrio ultrapassa esse limite, o bloco escorrega.

Passo 3

Relação entre N e a força aplicada F (movimento horizontal).
  • Consideramos o movimento horizontal: a força externa total horizontal é F aplicada ao bloco menor; a reação entre blocos é N (à esquerda sobre m e à direita sobre M).
  • Se os blocos permanecem em contato sem penetração, a superfície vertical não permite que um penetre no outro; isso implica que, na direção normal (horizontal), depois da interação eles têm a mesma aceleração horizontal comum a. Assim podemos tratar-os como um sistema para calcular a.
  • Aplicando a segunda lei ao sistema inteiro (bloco menor + bloco maior) na direção horizontal:
F = (m+M)\,a \quad\Rightarrow\quad a=\dfrac{F}{m+M}.
  • A força normal N é a força que acelera o bloco maior (é a única força horizontal sobre M), logo:
N = M a.
  • Substituindo a:
N = M\cdot \dfrac{F}{m+M} = \dfrac{M F}{m+M}.
Breve justificativa do passo: a suposição de aceleração comum é a condição de não-penetração (ambos permanecem em contato, sem compressão adicional idealizada), então a normal ajusta-se de modo que os corpos tenham a mesma aceleração normal.

Passo 4

Juntar a condição de atrito com a expressão de N e resolver para F.
  • A condição para não escorregar era \mu_{s} N \ge m g. Para o menor F isso ocorre quando se tem igualdade:
\mu_{s} N = m g.
  • Substituindo N=\dfrac{M F}{m+M}:
\mu_{s}\cdot \dfrac{M F}{m+M} = m g.
  • Resolver para F:
F = \dfrac{m g (m+M)}{\mu_{s} M}.
Aqui cada variável significa:
  • F: intensidade da força horizontal que queremos achar.
  • m: massa do bloco menor.
  • M: massa do bloco maior.
  • g: aceleração gravitacional (usar g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}).
  • \mu_{s}: coeficiente de atrito estático.
  • A fórmula vem de impor que a força de atrito máxima seja igual ao peso do bloco menor.

Passo 5

Cálculo numérico passo a passo (usar g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}):
  • Primeiro calcule m+M: m+M=16+88=104.
  • Numerador: m g (m+M) = 16 \cdot 9,8 \cdot 104.
    • 16\cdot 104 = 1664.
    • 1664\cdot 9,8 = 1664\cdot(10-0,2)=16640 - 332,8 = 16307,2.
  • Denominador: \mu_{s} M = 0,38 \cdot 88 = 33,44.
  • Dividindo:
F = \dfrac{16307,2}{33,44}\approx 487,7\\ \mathrm{N}.
Interpretação final curta e incentivo: então a força horizontal precisa ser cerca de 4,9\times 10^{2}\\ \mathrm{N} para que o contato gere normal suficiente e o atrito suporte o peso do bloco menor. Você já passou pela parte difícil — juntar equilíbrio vertical com dinâmica horizontal — e chegou na expressão fechada; com prática esse tipo de raciocínio fica natural. Força!

Resposta

F_{\min}=487,7\\ \mathrm{N}

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