- Dinâmica em uma Roda-Gigante
… (Halliday, Cap. 6, Problema 47) Um viciado em movimentos circulares, com 80 kg de massa, está andando em uma roda-gigante que descreve uma circunferência vertical de 10 m de raio a uma velocidade escalar constante de
. (a) Qual é o período do movimento? Qual é o módulo da força normal exercida pelo assento sobre o viciado quando ambos passam (b) pelo ponto mais alto da trajetória circular e (c) pelo ponto mais baixo?
… (Halliday, Cap. 6, Problema 47) Um viciado em movimentos circulares, com 80 kg de massa, está andando em uma roda-gigante que descreve uma circunferência vertical de 10 m de raio a uma velocidade escalar constante de
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- Massa do viciado:
. - Raio da roda-gigante:
. - Velocidade escalar constante:
. - Aceleração da gravidade (valor padrão que usarei):
.
O enunciado pede:
(a) o período do movimento circular;
(b) o módulo da força normal exercida pelo assento quando o passageiro passa pelo ponto mais alto;
(c) o módulo da força normal quando passa pelo ponto mais baixo.
(a) o período do movimento circular;
(b) o módulo da força normal
(c) o módulo da força normal
Passo 2
Calcular o período
.
Conceito rápido: o período é o tempo que a partícula leva para completar uma volta. A distância de uma volta é a circunferência . Se a velocidade escalar é
constante, então
Conceito rápido: o período é o tempo que a partícula leva para completar uma volta. A distância de uma volta é a circunferência
Aqui cada símbolo significa:
-
: período (s); -
: raio da trajetória (m); -
: velocidade escalar (m/s); -
: constante 3,1415…
Substituindo os números:
Agora calculo numericamente:
Passo 3
Calcular a aceleração centrípeta
e a força centrípeta necessária.
Conceito: para movimento circular uniforme, a aceleração dirigida para o centro tem módulo
Conceito: para movimento circular uniforme, a aceleração dirigida para o centro tem módulo
onde
é o quadrado da velocidade e
o raio. Substituindo:
A força centrípeta necessária (módulo) é
Isso significa que, em cada ponto, a soma das componentes das forças na direção radial (apontando para o centro) deve ter módulo
.
Passo 4
Força normal no ponto mais alto: derivação e substituição.
Entendimento das forças no topo:
Entendimento das forças no topo:
- O peso
age para baixo (direção para o centro, já que o centro da roda está abaixo do topo). - A força normal
do assento sobre a pessoa pode atuar para cima ou para baixo dependendo da velocidade; o que importa aqui é a soma das forças radiais deve fornecer a força centrípeta direcionada para o centro (para baixo no topo).
Equação de Newton na direção vertical (adotando eixo vertical positivo para cima). A aceleração no topo é para baixo, ou seja
. A soma das forças (positivas para cima) é
. Assim:
Rearranjando:
Agora substituo valores:
Como o enunciado pediu o módulo, dou o valor positivo
. (Interpretação física: aqui a normal aponta para cima e tem esse valor; se a velocidade fosse muito grande e
a normal poderia inverter de sinal.)
Passo 5
Força normal no ponto mais baixo: derivação e substituição.
No ponto mais baixo:
No ponto mais baixo:
- O centro está acima, logo a aceleração centrípeta é para cima.
- O peso
age para baixo e a normal age para cima (o assento empurra a pessoa para cima, rumo ao centro).
Usando o eixo vertical positivo para cima, a aceleração é
. A soma das forças (positivas para cima) é
. Aplicando Newton:
Logo
Substituindo:
Passo 6
Resumo numérico e interpretação curta (motivação para a prova).
- Período: use sempre
. Se v aumenta, T diminui; se r aumenta, T aumenta. - Para forças no topo/baixo, a estratégia padrão é: escrever a soma das forças na direção radial igual a
, prestar atenção ao sinal da aceleração (direção para o centro) e isolar . Isso funciona para qualquer exercício de movimento circular vertical onde há peso e contato.