1. Dinâmica em uma Roda-Gigante
    … (Halliday, Cap. 6, Problema 47) Um viciado em movimentos circulares, com 80 kg de massa, está andando em uma roda-gigante que descreve uma circunferência vertical de 10 m de raio a uma velocidade escalar constante de 6,1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. (a) Qual é o período do movimento? Qual é o módulo da força normal exercida pelo assento sobre o viciado quando ambos passam (b) pelo ponto mais alto da trajetória circular e (c) pelo ponto mais baixo?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Informações fornecidas:
  • Massa do viciado: m=80\\ \mathrm{kg}.
  • Raio da roda-gigante: r=10\\ \mathrm{m}.
  • Velocidade escalar constante: v=6{,}1\\ \mathrm{m/s}.
  • Aceleração da gravidade (valor padrão que usarei): g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}.
O enunciado pede:
(a) o período do movimento circular;
(b) o módulo da força normal N exercida pelo assento quando o passageiro passa pelo ponto mais alto;
(c) o módulo da força normal N quando passa pelo ponto mais baixo.

Passo 2

Calcular o período T.
Conceito rápido: o período é o tempo que a partícula leva para completar uma volta. A distância de uma volta é a circunferência 2\pi r. Se a velocidade escalar é v constante, então
T=\frac{2\pi r}{v}.
Aqui cada símbolo significa:
  • T: período (s);
  • r: raio da trajetória (m);
  • v: velocidade escalar (m/s);
  • \pi: constante 3,1415…
Substituindo os números:
T=\frac{2\pi\cdot 10}{6{,}1}=\frac{20\pi}{6{,}1}.
Agora calculo numericamente:
T\approx 10{,}31\\ \mathrm{s}.

Passo 3

Calcular a aceleração centrípeta (a_c) e a força centrípeta necessária.
Conceito: para movimento circular uniforme, a aceleração dirigida para o centro tem módulo
a_c=\frac{v^2}{r},
onde v^2 é o quadrado da velocidade e r o raio. Substituindo:
a_c=\frac{(6{,}1)^2}{10}=\frac{37{,}21}{10}=3{,}721\\ \mathrm{m/s^2}.
A força centrípeta necessária (módulo) é
F_{c}=m\,a_c=80\cdot 3{,}721=297{,}68\\ \mathrm{N}.
Isso significa que, em cada ponto, a soma das componentes das forças na direção radial (apontando para o centro) deve ter módulo 297{,}68\\ \mathrm{N}.

Passo 4

Força normal no ponto mais alto: derivação e substituição.
Entendimento das forças no topo:
  • O peso mg age para baixo (direção para o centro, já que o centro da roda está abaixo do topo).
  • A força normal N_{\text{top}} do assento sobre a pessoa pode atuar para cima ou para baixo dependendo da velocidade; o que importa aqui é a soma das forças radiais deve fornecer a força centrípeta direcionada para o centro (para baixo no topo).
Equação de Newton na direção vertical (adotando eixo vertical positivo para cima). A aceleração no topo é para baixo, ou seja a=-a_c=-\dfrac{v^2}{r}. A soma das forças (positivas para cima) é N_{\text{top}}-mg. Assim:
N_{\text{top}}-mg=m\left(-\frac{v^2}{r}\right).
Rearranjando:
N_{\text{top}}=mg-m\frac{v^2}{r}.
Agora substituo valores:
N_{\text{top}}=80\cdot 9{,}8 - 80\cdot 3{,}721 = 784 - 297{,}68 = 486{,}32\\ \mathrm{N}.
Como o enunciado pediu o módulo, dou o valor positivo 486{,}32\\ \mathrm{N}. (Interpretação física: aqui a normal aponta para cima e tem esse valor; se a velocidade fosse muito grande e m v^2/r>mg a normal poderia inverter de sinal.)

Passo 5

Força normal no ponto mais baixo: derivação e substituição.
No ponto mais baixo:
  • O centro está acima, logo a aceleração centrípeta é para cima.
  • O peso mg age para baixo e a normal N_{\text{bot}} age para cima (o assento empurra a pessoa para cima, rumo ao centro).
Usando o eixo vertical positivo para cima, a aceleração é a=+a_c=+\dfrac{v^2}{r}. A soma das forças (positivas para cima) é N_{\text{bot}}-mg. Aplicando Newton:
N_{\text{bot}}-mg=m\frac{v^2}{r}.
Logo
N_{\text{bot}}=mg+m\frac{v^2}{r}.
Substituindo:
N_{\text{bot}}=784 + 297{,}68 = 1081{,}68\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Resumo numérico e interpretação curta (motivação para a prova).
  • Período: use sempre T=2\pi r/v. Se v aumenta, T diminui; se r aumenta, T aumenta.
  • Para forças no topo/baixo, a estratégia padrão é: escrever a soma das forças na direção radial igual a m v^2/r, prestar atenção ao sinal da aceleração (direção para o centro) e isolar N. Isso funciona para qualquer exercício de movimento circular vertical onde há peso e contato.

Resposta

T\approx 10{,}31\\ \mathrm{s}
N_{\text{top}}=486{,}32\\ \mathrm{N}
N_{\text{bot}}=1081{,}68\\ \mathrm{N}

Exercícios relacionados