A curva dada é girada ao redor do eixo y. Calcule a área da superfície resultante.
x=a cosh (y / a), -a <= y <= a

Passo 1

O enunciado dá a curva
x = a coshl(tfrac y ar), -a <= y <= a,
e pede a área da superfície obtida ao girar essa curva em torno do eixo y.
O conteúdo aqui é área de superfície de revolução, e vamos usar a fórmula
S = 2pi integral x,ds,
onde ds é o elemento de arco ao longo da curva.

Passo 2

Parametrizamos pela própria variável y. Então
ds = raiz1+l(tfracdxdyr)^2,dy
Calculamos tfracdxdy:

Passo 3

Como x = acosh(y/a),
dxdy = sinhl(tfrac y ar)
Logo
raiz1+sinh^2l(tfrac y ar) = coshl(tfrac y ar),
pois cosh>=0. Assim
ds = coshl(tfrac y ar),dy

Passo 4

A fórmula de S vira
S = 2pi integraly=-a^y=a x,ds = 2pi integral-a^a l[acosh(tfrac y a)r]cdot cosh(tfrac y a),dy = 2pi aintegral-a^acosh^2l(tfrac y ar),dy

Passo 5

Fazemos a mudança de variável u = tfrac y a, então dy = a,du e uin[-1,1]:
S = 2pi a integral-1^1 cosh^2(u),a,du = 2pi a^2 integral-1^1cosh^2(u),du
Usamos cosh^2(u)=tfrac1+cosh(2u)2 para integrar:
integral-1^1cosh^2(u),du = integral-1^11+cosh(2u)2,du = gl[ u2 + sinh(2u)4gr]-1^1 = 1 + tfrac12sinh(2)

Passo 6

Substituindo de volta em S:
S = 2pi a^2l(1 + tfrac12sinh(2)r) = 2pi a^2 + pi a^2sinh(2) = pi a^2l(2 + sinh(2)r)

Resposta

S = pi a^2l(2 + sinh(2)r)

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