Calcule os limites
undersetx 0Lim 1-cos 3 xtg 3 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto01-cos3xtan3x
O conteúdo aqui é cálculo de limite de forma indeterminada 0/0, e podemos usar aproximações para ângulos pequenos ou a regra de l’Hôpital.

Passo 2

Verificamos a forma da expressão ao substituir x=0:
1-cos(3cdot0)=0, tan(3cdot0)=0,
logo temos 0/0, uma indeterminação.

Passo 3

Usamos a substituição u=3x. Para uto0 valem as aproximações de primeiro ordem:
1-cos uapproxu^22, tan uapprox u
Assim
1-cos3xtan3x = 1-cos utan u approx tfracu^22u = u2
e como u=3xto0, segue que o limite é 0.

Passo 4

Como confirmação, aplicamos a regra de l’Hôpital. Derivando numerador e denominador em relação a x:
ddxl(1-cos3xr)=3sin3x, ddxl(tan3xr)=3sec^2 3x
Então o limite vira
limxto03sin3x3sec^2 3x = limxto0l(sin3xcos^2 3xr) = 0cdot1^2 = 0

Resposta

O valor do limite é 0.

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