A curva dada é girada em torno do eixo y. Calcule a área da superfície.
y=raiza^2-x^2, 0 <= x <= a / 2

Passo 1

Estamos lidando com a rotação da curva y=raiza^2-x^2, para 0<= x<= a/2, em torno do eixo y. O conteúdo aqui é superfície de revolução e vamos usar a fórmula
S=integralx1^x22pi x,ds,
onde ds=raiz1+(y')^2,dx.

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada de y. Como
y=raiza^2-x^2,
temos
y'=ddxraiza^2-x^2=-xraiza^2-x^2
Então
1+(y')^2=1+x^2a^2-x^2=a^2a^2-x^2,
e portanto
ds=raiz1+(y')^2,dx=araiza^2-x^2,dx

Passo 3

Substituindo ds na fórmula da área, ficamos com
S=integral0^a/22pi xcdotaraiza^2-x^2,dx =2pi aintegral0^a/2xraiza^2-x^2,dx

Passo 4

Para calcular
I=integralxraiza^2-x^2,dx,
basta observar que
ddxl(-raiza^2-x^2r)=xraiza^2-x^2
Logo
I=-raiza^2-x^2+C
Avaliando de 0 a a/2:
l[-raiza^2-x^2r]0^a/2=-raiza^2-tfraca^24+raiza^2=a-araiz32=al(1-raiz32r)

Passo 5

Portanto a área da superfície é
S=2pi acdot al(1-raiz32r)=2pi a^2l(1-raiz32r)=pi a^2l(2-raiz3r)

Resposta

pi a^2,(2-raiz3)

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