Encontre o comprimento da curva.
y=12(e^x+e^-x), 0 <= x <= 1

Passo 1

O enunciado pede para achar o comprimento da curva definida por y = tfrac12(e^x + e^-x) no intervalo [0,1]. O conteúdo é comprimento de arco de uma curva y = f(x), e vamos usar a fórmula que diz:
L = integrala^b raiz1 + l(f'(x)r)^2,dx

Passo 2

Primeiro a gente calcula a derivada de y. Note que
y = tfrac12l(e^x + e^-xr) = cosh(x),
então
y' = tfrac12l(e^x - e^-xr) = sinh(x)

Passo 3

Agora substituímos na fórmula do comprimento:
L = integral0^1 raiz1 + l(sinh(x)r)^2,dx
Pela identidade hiperbólica 1 + sinh^2(x) = cosh^2(x), o integrando vira
raizcosh^2(x) = cosh(x), já que cosh(x)>=1 nessa faixa.

Passo 4

Então
L = integral0^1 cosh(x),dx
Para integrar usamos que a primitiva de cosh(x) é sinh(x). Assim,
L = sinh(x) l|0^1 = sinh(1) - sinh(0)
E como sinh(0)=0, ficamos com L = sinh(1).

Resposta

sinh(1)

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