(a) se sumn=0^infty|cn| é convergente, então sumn=0^infty cn x^n é absolutamente convergente no intervalo [-1,1];

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se a série de termos positivos sumn=0^infty|cn| converge, então a série de potências sumn=0^inftycnx^n é absolutamente convergente para todo xin[-1,1]. O conteúdo envolvido é séries de potências e o teste da comparação para convergência absoluta.

Passo 2

Para qualquer x em [-1,1] temos |x|<=1. Logo, para cada n, vale

Passo 3

|cnx^n| = |cn|,|x|^n <= |cn|

Passo 4

Como sumn=0^infty|cn| converge por hipótese, o teste da comparação garante que também converge sumn=0^infty|cnx^n|. Assim, sum cnx^n é absolutamente convergente em [-1,1].

Resposta

A série sumn=0^inftycnx^n converge absolutamente para todo xin[-1,1].

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