(a) se
é convergente, então
é absolutamente convergente no intervalo
;
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se a série de termos positivos
converge, então a série de potências
é absolutamente convergente para todo
. O conteúdo envolvido é séries de potências e o teste da comparação para convergência absoluta.
Passo 2
Para qualquer
em
temos
. Logo, para cada
, vale
Passo 3
Passo 4
Como
converge por hipótese, o teste da comparação garante que também converge
. Assim,
é absolutamente convergente em
.
Resposta
A série
converge absolutamente para todo
.