(d) se R é o raio de convergência de sumn=0^infty cn x^n, então raizR é o raio de convergência de sumn=0^infty cn x^2 n;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se uma série de potências sumn=0^infty cn x^n tem raio de convergência R, então a série sumn=0^infty cn x^2n tem raio de convergência raizR. Este é um problema sobre séries de potências e uso da fórmula de Cauchy–Hadamard para raio de convergência.

Passo 2

A fórmula de Cauchy–Hadamard diz que o raio de convergência R de sum cn x^n é dado por
$$
R

\frac{1}{
\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|c_n|}
}
$$

Passo 3

Agora considere a série sum cn x^2n. Seus coeficientes ak são nulos para índices ímpares e, para k=2n, vale a2n=cn. Logo o raio R' dessa série satisfaz
$$
\frac{1}{R’}

\limsup_{k\to\infty} \sqrt[k]{|a_k|}

\limsup_{n\to\infty} \sqrt[2n]{|c_n|}

\Bigl(\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|c_n|}\Bigr)^{1/2}
$$

Passo 4

Assim
$$
R’

\frac{1}{
(\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|c_n|})^{1/2}
}

\sqrt{
\frac{1}{\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|c_n|}}
}

\sqrt{R}
$$

Passo 5

Portanto, a série sum cn x^2n converge se |x|, mostrando que seu raio de convergência é raizR.

Resposta

raizR

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