(d) se
é o raio de convergência de
, então
é o raio de convergência de
;
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se uma série de potências
tem raio de convergência
, então a série
tem raio de convergência
. Este é um problema sobre séries de potências e uso da fórmula de Cauchy–Hadamard para raio de convergência.
Passo 2
A fórmula de Cauchy–Hadamard diz que o raio de convergência
de
é dado por
$$
R
\frac{1}{
\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|c_n|}
}
\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|c_n|}
}
$$
Passo 3
Agora considere a série
. Seus coeficientes
são nulos para índices ímpares e, para
, vale
. Logo o raio
dessa série satisfaz
$$
\frac{1}{R’}
\limsup_{k\to\infty} \sqrt[k]{|a_k|}
\limsup_{n\to\infty} \sqrt[2n]{|c_n|}
\Bigl(\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|c_n|}\Bigr)^{1/2}
$$
Passo 4
Assim
$$
R’
\frac{1}{
(\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|c_n|})^{1/2}
}
\sqrt{
\frac{1}{\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|c_n|}}
}
\sqrt{R}
$$
Passo 5
Portanto, a série
converge se
, mostrando que seu raio de convergência é
.