A curva dada é girada em torno do eixo
. Calcule a área da superfície.
Passo 1
A curva dada é
para
, e ela é girada em torno do eixo
. O conteúdo aqui é área de superfície de revolução em torno do eixo
, para o qual vamos usar a fórmula
sendo
.
Passo 2
Vamos calcular a derivada de
e o elemento de comprimento de arco
.
Primeiro, calculamos
Então
logo
Passo 3
Agora montamos a integral da área de superfície:
Para resolver, fazemos a substituição
, de modo que
e
.
Passo 4
Aplicando a substituição na integral:
Invertendo os limites de integração para ficar de 0 a 1 e tirando o sinal:
Passo 5
Geometricamente isso corresponde à superfície do hemisfério de raio 1, cuja área é
. Portanto, o cálculo está consistente.