A curva dada é girada em torno do eixo y. Calcule a área da superfície.
y=raiz1-x^2, 0 <= x <= 1

Passo 1

A curva dada é y = raiz1 - x^2 para 0 <= x <= 1, e ela é girada em torno do eixo y. O conteúdo aqui é área de superfície de revolução em torno do eixo y, para o qual vamos usar a fórmula
A = integrala^b 2pi x ,ds,
sendo ds = raiz1 + (y')^2,dx.

Passo 2

Vamos calcular a derivada de y e o elemento de comprimento de arco ds.
Primeiro, calculamos
y = raiz1 - x^2 Longrightarrow y' = ddxl(1 - x^2r)^1/2 = -xraiz1 - x^2
Então
1 + (y')^2 = 1 + x^21 - x^2 = 1 - x^2 + x^21 - x^2 = 11 - x^2,
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ds = raiz1 + (y')^2,dx = dxraiz1 - x^2

Passo 3

Agora montamos a integral da área de superfície:
A = integral0^1 2pi x ,ds = 2pi integral0^1 xraiz1 - x^2,dx
Para resolver, fazemos a substituição u = 1 - x^2, de modo que du = -2x,dx e x,dx = -tfrac12,du.

Passo 4

Aplicando a substituição na integral:
A = 2pi integralx=0^x=1 xraiz1 - x^2,dx = 2pi integralu=1^u=0 -tfrac12,duraizu = -pi integral1^0 u^-1/2,du
Invertendo os limites de integração para ficar de 0 a 1 e tirando o sinal:
A = pi integral0^1 u^-1/2,du = pi l[2u^1/2r]0^1 = 2pi (1 - 0) = 2pi

Passo 5

Geometricamente isso corresponde à superfície do hemisfério de raio 1, cuja área é 2pi. Portanto, o cálculo está consistente.

Resposta

2pi

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