Para a curva dada por
,
encontre
(a) o vetor tangente unitário;
(b) o vetor normal unitário;
(c) o vetor binormal unitário;
(d) a curvatura;
(e) a torção.
(a) o vetor tangente unitário;
(b) o vetor normal unitário;
(c) o vetor binormal unitário;
(d) a curvatura;
(e) a torção.
Passo 1
O enunciado pede a triédrica de Frenet da curva
,
.
Vamos precisar de:
Vamos precisar de:
- O vetor velocidade
e seu módulo para obter o vetor tangente unitário . - A derivada
para o vetor normal unitário . - O produto vetorial
para o binormal . - As fórmulas
e
, com .
Passo 2
Calculemos
e seu módulo.
Logo
O vetor tangente unitário é
Passo 3
Derivando
:
O vetor normal unitário é
Passo 4
O binormal unitário vem de
.
Fazendo o produto vetorial,
Fazendo o produto vetorial,
e
.
Assim
Assim
Passo 5
A curvatura é
Passo 6
Para a torção usamos
com .
Primeiro
com
Primeiro
Logo
Resposta
(a)
.
(b) .
(c) .
(d) .
(e) .
(b)
(c)
(d)
(e)