Para a curva dada por r=lang<=sen^3 t, cos ^3 t, sen^2 trang<=, 0 <= t <= pi / 2 encontre
(a) o vetor tangente unitário;
(b) o vetor normal unitário;
(c) o vetor binormal unitário;
(d) a curvatura;
(e) a torção.

Passo 1

O enunciado pede a triédrica de Frenet da curva
vec r(t)=lang<= sin^3t,;cos^3t,;sin^2trang<=, 0<= t<= pi/2.
Vamos precisar de:
  1. O vetor velocidade vec r,'(t) e seu módulo |vec r,'(t)| para obter o vetor tangente unitário T(t).
  2. A derivada T'(t) para o vetor normal unitário N(t).
  3. O produto vetorial T(t)times N(t) para o binormal B(t).
  4. As fórmulas
    kappa(t)=| T'(t)||vec r,'(t)| e
    tau(t)=- N(t)cdotd Bds, com dds=1|vec r,'|ddt.

Passo 2

Calculemos vec r,'(t) e seu módulo.
vec r,'(t) =llang<= 3sin^2tcos t,;-3cos^2tsin t,;2sin tcos trrang<= =sin tcos tllang<=3sin t,,-3cos t,;2rrang<=
Logo
|vec r,'(t)| =sin tcos t;raiz(3sin t)^2+(-3cos t)^2+2^2 =sin tcos t;raiz9+4 =raiz13,sin tcos t
O vetor tangente unitário é
T(t)=vec r,'(t)|vec r,'(t)| =1raiz13llang<=3sin t,,-3cos t,;2rrang<=

Passo 3

Derivando T(t):
T'(t) =1raiz13llang<=3cos t,;3sin t,;0rrang<=,
| T'(t)| =1raiz13raiz9cos^2t+9sin^2t =3raiz13
O vetor normal unitário é
N(t)= T'(t)| T'(t)| =llang<=cos t,;sin t,;0rrang<=

Passo 4

O binormal unitário vem de B= Ttimes N.
Fazendo o produto vetorial,
Ttimes N =1raiz13 llang<=3sin t,,-3cos t,;2rrang<= times lang<=cos t,;sin t,;0rang<= =lang<=-2sin t,;2cos t,;3rang<=
e | Ttimes N|=raiz13.
Assim
B(t) =1raiz13llang<=-2sin t,;2cos t,;3rrang<=

Passo 5

A curvatura é
kappa(t) =| T'(t)||vec r,'(t)| =tfrac3raiz13raiz13,sin tcos t =313,sin tcos t

Passo 6

Para a torção usamos
tau=-, Ncdotd Bds
com tfracdds=tfrac1|vec r,'|tfracddt.
Primeiro
B'(t) =1raiz13lang<=-2cos t,;-2sin t,;0rang<=,
B'(t)cdot N(t) =1raiz13(-2cos^2t-2sin^2t) =-2raiz13
Logo
tau(t) =- B'(t)cdot N(t)|vec r,'(t)| =--2/raiz13raiz13,sin tcos t =213,sin tcos t

Resposta

(a) T(t)=1raiz13llang<=3sin t,,-3cos t,;2rrang<=.
(b) N(t)=llang<=cos t,;sin t,;0rrang<=.
(c) B(t)=1raiz13llang<=-2sin t,;2cos t,;3rrang<=.
(d) kappa(t)=313,sin tcos t.
(e) tau(t)=213,sin tcos t.

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