Encontre o fluxo do campo F=(-y^2, x^2) através do caminho semicircular fechado que consiste no arco semicircular r1(t)=(a cos t) i+(a sin t) j, 0 <= t <= pi, seguido pelo segmento de reta r2(t)=t i,-a <= t <= a.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo
F=(-y^2,x^2)
através da curva fechada C que é o semicírculo de raio a no semiplano superior seguido pelo diâmetro de -a a a.
O conteúdo aqui é fluxo de campo em curva fechada em R^2 e vamos aplicar o Teorema de Green na forma de fluxo (identidade entre fluxo e divergência).

Passo 2

Calcular a divergência de F:
div F = partialpartial x(-y^2) + partialpartial y(x^2) = 0 + 0 = 0

Passo 3

Pelo Teorema de Green para fluxo em uma região plana D (o meio disco de raio a em y>=0) vale
ointCFcdotn,ds = integral duplaDdivF,dA

Passo 4

Como divF=0, temos
integral duplaD0,dA = 0

Resposta

O fluxo é 0.

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