2- Um tanque de água cônico tem um raio de 10 m e altura de 30 m , estando cheio até uma profundidade de 15 m . Qual é o trabalho necessário para bombear toda a água através de um orifício no topo do tanque?

Passo 1

O enunciado pede o trabalho para bombear toda a água de um tanque em forma de cone de altura 30 m e raio de base 10 m, estando o tanque cheio até 15 m de profundidade (medida desde o vértice). O conteúdo usado aqui é cálculo de trabalho por integração de fatias: cada fatia de água tem volume, peso e deve ser elevada a uma certa distância até o orifício no topo.

Passo 2

Escolhemos y como a altura medida a partir do vértice (fundo) do cone. A semelhança de triângulos dá
r(y)y=1030 Longrightarrow r(y)=y3
Isso significa que, a uma altura y, a seção transversal da água é um círculo de raio y/3.

Passo 3

Considere uma fatia de espessura dy a uma altura y. Seu volume é
dV = pil(r(y)r)^2,dy = pil(y3r)^2 dy = pi,y^29,dy
O peso dessa fatia vale rho,g,dV, onde rho=1000,kg/ m^3 e g=9,8,m/ s^2.

Passo 4

Cada fatia em y precisa subir até o topo, que está em y=30. A distância de elevação é
D(y)=30 - y
Logo o trabalho diferencial é
dW = l(rho,g,dVr)times D(y) = rho,g;pi,y^29;(30-y),dy

Passo 5

O trabalho total é a integral de y=0 até y=15:
W = integral0^15rho,g,pi9;y^2(30-y),dy = rho,g,pi9 integral0^15l(30y^2 - y^3r),dy
Calcule a integral interna:
integral0^15(30y^2 - y^3),dy = 30cdot15^33 ;-;15^44 = 10cdot15^3 ;-;15^44 = 843754
Portanto,
W = rho,g,pi9;843754 = rho,g;84375pi36 = 1000cdot9,8;84375pi36

Passo 6

Fazendo as contas,
1000cdot9,8;8437536 =22,968,750
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W = 22,968,750,pi;J approx7,22times10^7;J

Resposta

W = 22,968,750,pi;J approx 7,22times10^7;J

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