2- Um tanque de água cônico tem um raio de 10 m e altura de 30 m , estando cheio até uma profundidade de 15 m . Qual é o trabalho necessário para bombear toda a água através de um orifício no topo do tanque?
Passo 1
O enunciado pede o trabalho para bombear toda a água de um tanque em forma de cone de altura
m e raio de base
m, estando o tanque cheio até
m de profundidade (medida desde o vértice). O conteúdo usado aqui é cálculo de trabalho por integração de fatias: cada fatia de água tem volume, peso e deve ser elevada a uma certa distância até o orifício no topo.
Passo 2
Escolhemos
como a altura medida a partir do vértice (fundo) do cone. A semelhança de triângulos dá
Isso significa que, a uma altura
, a seção transversal da água é um círculo de raio
.
Passo 3
Considere uma fatia de espessura
a uma altura
. Seu volume é
O peso dessa fatia vale
, onde
,kg/
e
,m/
.
Passo 4
Cada fatia em
precisa subir até o topo, que está em
. A distância de elevação é
Logo o trabalho diferencial é
Passo 5
O trabalho total é a integral de
até
:
Calcule a integral interna:
Portanto,
Passo 6
Fazendo as contas,
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