Reescrever a equação diferencial como um sistema de equaçōes diferenciais de primeira ordem na forma matricial, e resolver o sistema de equação diferencial.
l ddotx=-x-y doty=-2 dotx+2 y

Passo 1

O enunciado pede para transformar a equação de segunda ordem em um sistema de primeira ordem na forma matricial e depois resolver esse sistema. O conteúdo principal é teoria de sistemas lineares dot X=A X, cálculo do polinômio característico e solução geral via autovalores.

Passo 2

Definimos as variáveis de estado
X1=x
X2=dot x
X3=y
Então
dot X1=dot x=X2,
dot X2=ddot x=-x-y=-X1-X3,
dot X3=dot y=-2dot x+2y=-2X2+2X3
Em notação matricial:
dot X=A X,
com
A=0&1&0-1&0&-10&-2&2

Passo 3

Para resolver o sistema homogêneo calculamos o polinômio característico
det(A-lambda I)=0Longrightarrow lambda^3-2lambda^2-lambda-2=0

Passo 4

Resolvendo
lambda^3-2lambda^2-lambda-2=0
obtemos uma raiz real
lambda1approx2.659
e um par complexo conjugado
lambda2,3approx-0.330pm0.801,i.

Passo 5

Logo a solução geral da componente x(t)=X1(t) é
x(t)=C1e^2.659t+e^-0.330tl(C2cos0.801t+C3sin0.801tr)
Em seguida, usamos a relação original
y=-x-ddot x
para obter a componente y(t).

Resposta

x(t)=C_1e{2.659t}+e{-0.330t}\bigl(C_2\cos(0.801t)+C_3\sin(0.801t)\bigr)
y(t)=-x(t)-\ddot x(t),
onde as constantes C1,C2,C3 são determinadas pelas condições iniciais.

Exercícios relacionados