Uma curva
é dita planar se sua imagem está contida em um plano.
Prove que, se
é planar, então existe um vetor
tal que
e
são sempre perpendiculares.
Resolução: O vetor normal ao plano no qual
está contida satisfaz a propriedade desejada.
Prove que, se
Resolução: O vetor normal ao plano no qual
Passo 1
Beleza, vamos por partes! A gente tem uma curva
que é chamada de planar, ou seja, todo o seu trajeto está dentro de um único plano no espaço tridimensional. Nosso objetivo aqui é provar que existe um vetor fixo
que está sempre perpendicular ao vetor velocidade
da curva, independente do ponto
considerado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a curva ser planar. Se a imagem de
está contida em um plano, então todos os pontos da curva estão nesse mesmo plano. Em termos vetoriais, isso implica que os vetores tangentes à curva (que são as derivadas primeiras
) também estão nesse plano.
Passo 3
Agora, sabemos que todo plano no espaço tridimensional tem um vetor normal, ou seja, um vetor que é perpendicular a qualquer vetor que está no plano. Vamos chamar esse vetor normal de
. A propriedade fundamental aqui é que, se um vetor está no plano, então ele é perpendicular ao vetor normal do plano.
Passo 4
Como os vetores velocidade
estão todos no plano (pois a curva é planar), e sabemos que
é perpendicular a todos eles, então podemos concluir que
é o vetor que estamos procurando. Isso significa que
é perpendicular a
para todo
no intervalo
.
Resposta
Portanto, existe um vetor
(especificamente, o vetor normal ao plano que contém
) tal que
e
são sempre perpendiculares.