Uma curva gamma:[a, b] R^3 é dita planar se sua imagem está contida em um plano.
Prove que, se gamma é planar, então existe um vetor v tal que gamma^prime(t) e v são sempre perpendiculares.
Resolução: O vetor normal ao plano no qual gamma está contida satisfaz a propriedade desejada.

Passo 1

Beleza, vamos por partes! A gente tem uma curva gamma: [a, b] R^3 que é chamada de planar, ou seja, todo o seu trajeto está dentro de um único plano no espaço tridimensional. Nosso objetivo aqui é provar que existe um vetor fixo v que está sempre perpendicular ao vetor velocidade gamma^prime(t) da curva, independente do ponto t considerado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a curva ser planar. Se a imagem de gamma está contida em um plano, então todos os pontos da curva estão nesse mesmo plano. Em termos vetoriais, isso implica que os vetores tangentes à curva (que são as derivadas primeiras gamma^prime(t)) também estão nesse plano.

Passo 3

Agora, sabemos que todo plano no espaço tridimensional tem um vetor normal, ou seja, um vetor que é perpendicular a qualquer vetor que está no plano. Vamos chamar esse vetor normal de n. A propriedade fundamental aqui é que, se um vetor está no plano, então ele é perpendicular ao vetor normal do plano.

Passo 4

Como os vetores velocidade gamma^prime(t) estão todos no plano (pois a curva é planar), e sabemos que n é perpendicular a todos eles, então podemos concluir que n é o vetor que estamos procurando. Isso significa que n é perpendicular a gamma^prime(t) para todo t no intervalo [a, b].

Resposta

Portanto, existe um vetor v (especificamente, o vetor normal ao plano que contém gamma) tal que gamma^prime(t) e v são sempre perpendiculares.

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