Prove (usando equações) que a curva
não está contida em nenhuma reta.
Dica: Suponha que
está contida em uma reta:
. Escolha alguns valores de
(pelo menos 3) e substitua na expressão
. Conclua que não podem existir
e
que satisfaçam essas condições.
Dica: Suponha que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar, usando equações, que a curva definida por
para
não está contida em nenhuma reta. A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, mais especificamente a relação entre curvas e retas no plano. Para resolver isso, vamos usar a ideia de que se a curva estivesse em uma reta, então todos os pontos da curva deveriam satisfazer a equação dessa reta.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que existe uma reta que contém toda a curva
. A equação geral de uma reta no plano é dada por:
onde
,
e
são constantes que definem a reta.
Passo 3
Como a curva está contida nessa reta, isso significa que para todo valor de
, as coordenadas
devem satisfazer a equação da reta. Então, vamos substituir
por
e
por
na equação da reta:
Passo 4
Agora, precisamos verificar se existe alguma combinação de
,
e
que faça essa equação verdadeira para pelo menos três valores diferentes de
. Vamos escolher três valores para
e montar um sistema de equações.
Por exemplo, vamos escolher
,
e
.
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora temos um sistema de três equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de
,
e
.
Subtraindo a equação (1) da equação (2):
Subtraindo a equação (2) da equação (3):
Passo 6
Agora temos um sistema de duas equações:
Subtraindo a equação (4) da equação (5):
Substituindo
na equação (4):
Agora, substituindo
e
na equação (1):
Passo 7
Encontramos que
,
e
. Mas isso não faz sentido, porque a equação da reta
é uma igualdade verdadeira para todos os pontos do plano, ou seja, não representa uma reta específica. Isso significa que não existem valores não triviais de
,
e
que satisfaçam as equações para os três valores de
escolhidos.
Resposta
Portanto, concluímos que a curva
não está contida em nenhuma reta.