Prove (usando equações) que a curva gamma(t)=(t, t^2), t>0 não está contida em nenhuma reta.
Dica: Suponha que gamma está contida em uma reta: a x+b y+c=0. Escolha alguns valores de t (pelo menos 3) e substitua na expressão a t+b t^2+c=0. Conclua que não podem existir a, b e c que satisfaçam essas condições.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar, usando equações, que a curva definida por gamma(t) = (t, t^2) para t > 0 não está contida em nenhuma reta. A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, mais especificamente a relação entre curvas e retas no plano. Para resolver isso, vamos usar a ideia de que se a curva estivesse em uma reta, então todos os pontos da curva deveriam satisfazer a equação dessa reta.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que existe uma reta que contém toda a curva gamma(t). A equação geral de uma reta no plano é dada por:
a x + b y + c = 0
onde a, b e c são constantes que definem a reta.

Passo 3

Como a curva está contida nessa reta, isso significa que para todo valor de t > 0, as coordenadas (t, t^2) devem satisfazer a equação da reta. Então, vamos substituir x por t e y por t^2 na equação da reta:
a t + b t^2 + c = 0

Passo 4

Agora, precisamos verificar se existe alguma combinação de a, b e c que faça essa equação verdadeira para pelo menos três valores diferentes de t. Vamos escolher três valores para t e montar um sistema de equações.
Por exemplo, vamos escolher t = 1, t = 2 e t = 3.
Para t = 1:
a(1) + b(1)^2 + c = a + b + c = 0 (1)
Para t = 2:
a(2) + b(2)^2 + c = 2a + 4b + c = 0 (2)
Para t = 3:
a(3) + b(3)^2 + c = 3a + 9b + c = 0 (3)

Passo 5

Agora temos um sistema de três equações:
  1. a + b + c = 0
  2. 2a + 4b + c = 0
  3. 3a + 9b + c = 0
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de a, b e c.
Subtraindo a equação (1) da equação (2):
(2a + 4b + c) - (a + b + c) = a + 3b = 0 (4)
Subtraindo a equação (2) da equação (3):
(3a + 9b + c) - (2a + 4b + c) = a + 5b = 0 (5)

Passo 6

Agora temos um sistema de duas equações:
  1. a + 3b = 0
  2. a + 5b = 0
Subtraindo a equação (4) da equação (5):
(a + 5b) - (a + 3b) = 2b = 0 Rightarrow b = 0
Substituindo b = 0 na equação (4):
a + 3(0) = a = 0
Agora, substituindo a = 0 e b = 0 na equação (1):
0 + 0 + c = c = 0

Passo 7

Encontramos que a = 0, b = 0 e c = 0. Mas isso não faz sentido, porque a equação da reta 0x + 0y + 0 = 0 é uma igualdade verdadeira para todos os pontos do plano, ou seja, não representa uma reta específica. Isso significa que não existem valores não triviais de a, b e c que satisfaçam as equações para os três valores de t escolhidos.

Resposta

Portanto, concluímos que a curva gamma(t) = (t, t^2) não está contida em nenhuma reta.

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