Uma curva gamma:[a, b] R^3 é dita planar se sua imagem está contida em um plano.
Por outro lado, suponha que existe um vetor v tal que gamma^prime(t) e v são sempre perpendiculares. Mostre que gamma é planar.
Dica: Para gamma(t)=(x(t), y(t), z(t)), escreva a condição de perperdicularidade: x^prime(t) v1+y^prime(t) v2+z^prime(t) v3=0 e integre os dois lados dessa equação.

Passo 1

Beleza, temos uma curva no espaço tridimensional, chamada gamma, e queremos provar que ela está toda dentro de um plano (ou seja, é planar). Para isso, sabemos que existe um vetor v que é sempre perpendicular à derivada da curva gamma'(t). Vamos usar esse fato e algumas ideias de cálculo e geometria para demonstrar que a curva realmente está contida em um plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que gamma'(t) e v são perpendiculares. Se gamma(t) = (x(t), y(t), z(t)), então sua derivada é gamma'(t) = (x'(t), y'(t), z'(t)). A condição de perpendicularidade entre esses dois vetores é que o produto escalar entre eles seja zero. Ou seja:
x'(t)v1 + y'(t)v2 + z'(t)v3 = 0

Passo 3

Agora, vamos integrar essa equação com relação a t. A integração de uma soma é a soma das integrais, então temos:
integral ( x'(t)v1 + y'(t)v2 + z'(t)v3 ) dt = 0
Integrando cada termo separadamente:
v1 integral x'(t) dt + v2 integral y'(t) dt + v3 integral z'(t) dt = 0

Passo 4

Sabemos que a integral da derivada de uma função é a própria função mais uma constante de integração. Então:
v1 x(t) + v2 y(t) + v3 z(t) = C
onde C é uma constante.

Passo 5

Essa equação v1 x + v2 y + v3 z = C representa a equação de um plano no espaço tridimensional. Isso significa que todos os pontos gamma(t) da curva satisfazem essa equação, ou seja, estão contidos nesse plano.

Resposta

Portanto, concluímos que a curva gamma é planar, pois está totalmente contida no plano definido por v1 x + v2 y + v3 z = C.

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