Uma curva
é dita planar se sua imagem está contida em um plano.
Por outro lado, suponha que existe um vetor
tal que
e
são sempre perpendiculares. Mostre que
é planar.
Dica: Para
, escreva a condição de perperdicularidade:
e integre os dois lados dessa equação.
Por outro lado, suponha que existe um vetor
Dica: Para
Passo 1
Beleza, temos uma curva no espaço tridimensional, chamada
, e queremos provar que ela está toda dentro de um plano (ou seja, é planar). Para isso, sabemos que existe um vetor
que é sempre perpendicular à derivada da curva
. Vamos usar esse fato e algumas ideias de cálculo e geometria para demonstrar que a curva realmente está contida em um plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que
e
são perpendiculares. Se
, então sua derivada é
. A condição de perpendicularidade entre esses dois vetores é que o produto escalar entre eles seja zero. Ou seja:
Passo 3
Agora, vamos integrar essa equação com relação a
. A integração de uma soma é a soma das integrais, então temos:
Integrando cada termo separadamente:
Passo 4
Sabemos que a integral da derivada de uma função é a própria função mais uma constante de integração. Então:
onde
é uma constante.
Passo 5
Essa equação
representa a equação de um plano no espaço tridimensional. Isso significa que todos os pontos
da curva satisfazem essa equação, ou seja, estão contidos nesse plano.
Resposta
Portanto, concluímos que a curva
é planar, pois está totalmente contida no plano definido por
.