Uma curva \mathcal{C} é definida pelas equações paramétricas x=t^{3}-4 t e y=t^{2}.
(20 pontos) (a) Mostre que \mathcal{C} tem duas tangentes no ponto (0,4) e encontre suas equaçōes.
( 10 pontos) (b) Encontre o ponto em \mathcal{C} onde a tangente é horizontal.
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica pelas equações
x=t^{3}-4t,\qquad y=t^{2}.
O que o problema pede:
(a) Mostrar que a curva \mathcal{C} tem duas tangentes no ponto (0,4) e encontrar as equações dessas tangentes.
(b) Encontrar o ponto em \mathcal{C} onde a tangente é horizontal.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
A curva é dada por x(t) e y(t) acima.
O ponto de interesse para (a) é (0,4).
Para achar tangentes paramétricas vamos precisar das derivadas dx/dt e dy/dt.
Passo 2
Primeiro identifico os valores de t que geram o ponto (0,4). Pelo enunciado y=t^{2}, então
t^{2}=4 \quad\Rightarrow\quad t=2 \text{ ou } t=-2.
Agora verifico x nesses valores para checar que realmente dão x=0:
Portanto existem dois valores de parâmetro, t=2 e t=-2, que correspondem ao mesmo ponto (0,4). Isso já sugere que a curva pode cruzar-se nesse ponto e, por isso, pode haver mais de uma tangente.
Passo 3
Agora explico a fórmula que usamos para a inclinação da tangente de uma curva paramétrica. Para uma curva dada por x(t) e y(t), a inclinação (ou coeficiente angular) da tangente em um t onde dx/dt\neq0 é
\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}.
Por que isso vale? Porque por regra da cadeia, se tratamos y como função de t e x também, então (dy/dx)=(dy/dt)\big/(dx/dt) sempre que dx/dt\neq0. Na prática isso nos dá a inclinação da reta tangente à curva no ponto correspondente ao parâmetro t.
Passo 4
Calculo as derivadas em função de t:
\frac{dx}{dt}=3t^{2}-4,\qquad \frac{dy}{dt}=2t.
Passo 5
Avalio a inclinação \,dy/dx nos dois parâmetros que deram o ponto (0,4).