Desenhe a imagem das seguintes curvas parametrizadas:
alpha:[0,+infty) longrightarrow R^2 dada por alpha(t)=(2+e^-t, 3-e^t).

Passo 1

O enunciado pede para desenhar a imagem da curva paramétrica α: [0,+∞) → ℝ² dada por α(t) = (2 + e^(–t), 3 – e^t). O conteúdo é curvas paramétricas e vamos precisar eliminar o parâmetro para entender o traço no plano.

Passo 2

Escrevemos as componentes x(t) = 2 + e^(–t) e y(t) = 3 – e^t. Da primeira tiramos e^(–t) = x – 2. Invertendo, e^t = 1/(x – 2). Substituindo em y(t) obtemos y = 3 – 1/(x – 2).
A equação cartesiana da curva então é (x-2)(y-3)=-1 que é uma hipérbole retangular centrada em (2,3). O ramo que nos interessa satisfaz x>2 e y<3.

Passo 3

Como t≥0, em t=0 temos x=3 e y=2, ou seja, o ponto inicial é (3,2). Quando t→+∞, e^(–t)→0 então x→2^+ e y=3–e^t→–∞. Ou seja, o ramo parte de (3,2) e desce, aproximando-se da reta vertical x=2.

Passo 4

Para esboçar, marcamos (3,2) e desenhamos o ramo que desce indefinidamente aproximando-se de x=2 sem tocá-la. Não há outra parte da curva no domínio dado.

Resposta

A imagem de α é o ramo da hipérbole de equação cartesiana (x-2)(y-3)=−1 para 2<x≤3, partindo de (3,2) e aproximando-se da assíntota vertical x=2 à medida que t→+∞.

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