Desenhe o conjunto de nível da função f dada por:
f(x, y)=x^2+2 y^2

Passo 1

O enunciado pede para desenhar os conjuntos de nível da função f(x,y)=x^2+2y^2. O conteúdo aqui é o conceito de conjunto de nível (ou nível-corte), e vamos precisar usar a definição: conjuntos de nível de f são as curvas dadas por f(x,y)=c, onde c é uma constante.

Passo 2

Definimos o conjunto de nível de valor c como o conjunto Lc=(x,y)inR^2mid f(x,y)=c. No nosso caso temos
x^2+2y^2=c

Passo 3

Para entender a forma geométrica dessa curva, dividimos toda a equação por c (assumindo c>0) e obtemos
x^2c+y^2c/2=1

Passo 4

Essa é a equação de uma elipse centrada na origem, com semi-eixo em x de comprimento raizc e semi-eixo em y de comprimento raizc/2.

Passo 5

Devemos também observar os casos especiais:
— Se c<0, não há pontos reais que satisfaçam x^2+2y^2=c, então o conjunto de nível é vazio.
— Se c=0, a única solução é (x,y)=(0,0), ou seja, um ponto.
— Se c>0, o conjunto de nível é uma elipse descrita acima.

Resposta

Os conjuntos de nível de f(x,y)=x^2+2y^2 são:
Para c<0: vazio.
Para c=0: o ponto (0,0).
Para c>0: elipses centradas na origem de equação
x^2+2y^2=c,
com semi-eixos raizc (eixo x) e raizc/2 (eixo y).

Exercícios relacionados