Para a curva parametrizada pela função abaixo, determine a curvatura kappa(t)=|r^prime(t) times r^prime prime(t)||r^prime(t)|^3 no ponto lang<= 12,8,3rang<=
r(t)=lang<= 12 t, 8 t^3 / 2, 3 t^2rang<=

Passo 1

O enunciado apresenta a curva parametrizada r(t)=lang<=12t,;8t^3/2,;3t^2rang<= e pede a curvatura kappa(t)=| r'(t)times r''(t)|| r'(t)|^3 no ponto lang<=12,8,3rang<=. Vamos usar conceitos de derivadas vetoriais e produto vetorial para curvas no espaço.

Passo 2

Para achar o parâmetro t correspondente ao ponto dado, igualamos as componentes: 12t=12 implica t=1. Verificamos que em t=1 obtemos y=8cdot1^3/2=8 e z=3cdot1^2=3, consistente com o ponto.

Passo 3

Derivamos r(t) para obter as primeiras e segundas derivadas: r'(t)=lang<=12,;12t^1/2,;6trang<= e r''(t)=lang<=0,;6t^-1/2,;6rang<=.

Passo 4

Avaliamos em t=1: r'(1)=lang<=12,;12,;6rang<= e r''(1)=lang<=0,;6,;6rang<=.

Passo 5

Calculamos o produto vetorial em bloco para clareza:
r'(1)times r''(1)= i & j & k 12 & 12 & 6 0 & 6 & 6 =lang<=36,,-72,;72rang<=

Passo 6

Determinamos as normas: | r'(1)|=raiz12^2+12^2+6^2=18 e | r'(1)times r''(1)|=raiz36^2+(-72)^2+72^2=108.

Passo 7

Aplicamos a fórmula da curvatura e simplificamos: kappa(1)=10818^3=1085832=154

Resposta

154

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