Para a curva parametrizada pela função abaixo, determine a curvatura no ponto
Passo 1
O enunciado apresenta a curva parametrizada e pede a curvatura no ponto . Vamos usar conceitos de derivadas vetoriais e produto vetorial para curvas no espaço.
Passo 2
Para achar o parâmetro correspondente ao ponto dado, igualamos as componentes: implica . Verificamos que em obtemos e , consistente com o ponto.
Passo 3
Derivamos para obter as primeiras e segundas derivadas: e .
Passo 4
Avaliamos em : e .
Passo 5
Calculamos o produto vetorial em bloco para clareza:
Passo 6
Determinamos as normas: | r'(1)|=raiz12^2+12^2+6^2=18 e | r'(1)times r''(1)|=raiz36^2+(-72)^2+72^2=108.
Passo 7
Aplicamos a fórmula da curvatura e simplificamos: kappa(1)=10818^3=1085832=154