Verifique a convergência das seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a integral
converge ou não. Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais impróprias e critério de comparação. Vamos precisar entender como comparar funções para determinar se a área sob a curva vai até o infinito ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos observar o comportamento da função
quando
fica muito grande, ou seja, tende ao infinito. Isso nos ajuda a simplificar a expressão e encontrar uma função com a qual possamos comparar.
Passo 3
Para
grande, os termos de maior grau tanto no numerador quanto no denominador dominam a expressão. Então, podemos simplificar a fração original:
Isso significa que, para valores grandes de
, nossa função se comporta aproximadamente como
.
Passo 4
Agora, vamos considerar a integral da função com a qual fizemos a comparação:
Sabemos que
converge se
. No nosso caso,
, que é maior que 1, então a integral converge.
Passo 5
Como nossa função original
é semelhante a
para
grande, e a integral de comparação converge, podemos concluir, pelo Critério de Comparação para integrais impróprias, que a integral original também converge.
Resposta
A integral
converge.