Verifique a convergência das seguintes integrais:
integral4^infty 2 x-3x^3-3 x^2+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a integral integral4^infty 2x - 3x^3 - 3x^2 + 1 , dx converge ou não. Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais impróprias e critério de comparação. Vamos precisar entender como comparar funções para determinar se a área sob a curva vai até o infinito ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos observar o comportamento da função 2x - 3x^3 - 3x^2 + 1 quando x fica muito grande, ou seja, tende ao infinito. Isso nos ajuda a simplificar a expressão e encontrar uma função com a qual possamos comparar.

Passo 3

Para x grande, os termos de maior grau tanto no numerador quanto no denominador dominam a expressão. Então, podemos simplificar a fração original:
2x - 3x^3 - 3x^2 + 1 approx 2xx^3 = 2x^2
Isso significa que, para valores grandes de x, nossa função se comporta aproximadamente como 2x^2.

Passo 4

Agora, vamos considerar a integral da função com a qual fizemos a comparação:
integral4^infty 2x^2 , dx
Sabemos que integrala^infty 1x^p , dx converge se p > 1. No nosso caso, p = 2, que é maior que 1, então a integral converge.

Passo 5

Como nossa função original 2x - 3x^3 - 3x^2 + 1 é semelhante a 2x^2 para x grande, e a integral de comparação converge, podemos concluir, pelo Critério de Comparação para integrais impróprias, que a integral original também converge.

Resposta

A integral integral4^infty 2x - 3x^3 - 3x^2 + 1 , dx converge.

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