Verifique a convergência das seguintes integrais:
integral0^infty e^-x cos raizx d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que verificar se a integral integral0^infty e^-x cos raizx , dx converge. Isso pertence ao conteúdo de cálculo integral, especificamente análise de convergência de integrais impróprias. Para resolver isso, vamos precisar entender como analisar o comportamento da função integranda tanto quando x se aproxima de 0 quanto quando x vai para o infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos observar o comportamento da função e^-x cos raizx quando x se aproxima de 0. Sabemos que e^-x se aproxima de 1 quando x to 0 e cos raizx se aproxima de cos 0 = 1. Portanto, próximo de 0, a função se comporta como 1, o que sugere que a integral nessa região não apresenta problemas de convergência.

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento da função quando x vai para o infinito. Aqui, e^-x tende a 0 exponencialmente rápido, enquanto cos raizx oscila entre -1 e 1. Portanto, o fator e^-x vai dominar o comportamento da função, fazendo com que a integranda diminua rapidamente.

Passo 4

Para confirmar a convergência, podemos comparar com a integral integral0^infty e^-x , dx, que sabemos que converge pois integral0^infty e^-x , dx = 1. Como |cos raizx| <= 1 para todo x, temos que:
|e^-x cos raizx| <= e^-x

Passo 5

Pelo Teste da Comparação, se integral0^infty e^-x , dx converge e |e^-x cos raizx| <= e^-x, então a integral original integral0^infty e^-x cos raizx , dx também converge absolutamente.

Resposta

A integral integral0^infty e^-x cos raizx , dx é convergente.

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