Verifique a convergência das seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que verificar se a integral
converge. Isso pertence ao conteúdo de cálculo integral, especificamente análise de convergência de integrais impróprias. Para resolver isso, vamos precisar entender como analisar o comportamento da função integranda tanto quando
se aproxima de 0 quanto quando
vai para o infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos observar o comportamento da função
quando
se aproxima de 0. Sabemos que
se aproxima de 1 quando
e
se aproxima de
. Portanto, próximo de 0, a função se comporta como 1, o que sugere que a integral nessa região não apresenta problemas de convergência.
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento da função quando
vai para o infinito. Aqui,
tende a 0 exponencialmente rápido, enquanto
oscila entre -1 e 1. Portanto, o fator
vai dominar o comportamento da função, fazendo com que a integranda diminua rapidamente.
Passo 4
Para confirmar a convergência, podemos comparar com a integral
, que sabemos que converge pois
. Como
para todo
, temos que:
Passo 5
Pelo Teste da Comparação, se
converge e
, então a integral original
também converge absolutamente.
Resposta
A integral
é convergente.