Uma curva parametrizada regular \alpha tem a seguinte propriedade: todas as suas tangentes passam por um ponto fixo.
(a) Prove que o traço de \alpha é (o segmento de) uma reta.
(b) A conclusão ainda é válida se \alpha não é regular?

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (listar claramente):
  • Foi dada uma curva parametrizada \alpha, assumida regular (isto é, \alpha'(t)\neq 0 para todo t do intervalo de parametrização).
  • Propriedade extra: todas as tangentes da curva passam por um ponto fixo p_0 (mesmo ponto para todas as tangentes).
  • Pergunta (a): provar que o traço (imagem) de \alpha é (um segmento de) uma reta.
  • Pergunta (b): perguntar se a mesma conclusão vale se \alpha não for regular (isto é, se houver pontos onde \alpha'(t)=0 ou a derivada não existir).

Passo 2

Definições e setup inicial — como traduzir a propriedade em uma equação vetorial:
  • A reta tangente em \alpha(t) tem direção \alpha'(t) e passa por \alpha(t).
  • Dizer que essa reta passa por um ponto fixo p_0 significa que, para cada t, existe um escalar \mu(t)\in\mathbb{R} tal que
p_0=\alpha(t)+\mu(t)\,\alpha'(t).
  • Vou trabalhar com o vetor \beta(t)=\alpha(t)-p_0. A equação acima reescreve-se como
\beta(t)=\mu(t)\,\alpha'(t).
Isto é, para todo t o vetor que vai de p_0 até \alpha(t) é múltiplo do vetor tangente \alpha'(t): \beta(t) e \alpha'(t) são colineares.

Passo 3

Interpretando a colinearidade por determinante (ideia geométrica que elimina \mu):
  • Em \mathbb{R}^2 a condição de dois vetores u,v serem colineares equivale a \det(u,v)=0.
  • Assim, a condição dada é
D(t):=\det\big(\beta(t),\alpha'(t)\big)=0\qquad\text{para todo }t.
  • Vou derivar essa identidade escalar D(t)\equiv 0 para obter informação adicional sobre \alpha.

Passo 4

Derivando D(t)=0 e simplificando:
  • Como D(t)=\det(\beta(t),\alpha'(t)), derivando e usando regra do produto (propriedade da derivada do determinante) obtemos
D'(t)=\det(\beta'(t),\alpha'(t))+\det(\beta(t),\alpha''(t)).
  • Mas \beta'(t)=\alpha'(t), logo \det(\beta'(t),\alpha'(t))=\det(\alpha'(t),\alpha'(t))=0.
  • Portanto
0=D'(t)=\det(\beta(t),\alpha''(t))\qquad\text{para todo }t.

Passo 5

Relacionando a última igualdade com curvatura e conclusão parcial:
  • Como \beta(t)=\mu(t)\alpha'(t), temos
\det(\beta(t),\alpha''(t))=\mu(t)\det(\alpha'(t),\alpha''(t)).
  • Em curvas planar regulares, \det(\alpha',\alpha'') é (proporcional a) a curvatura multiplicada por |\alpha'|^3; em particular, se \det(\alpha',\alpha'')=0 então \alpha'' é colinear com \alpha' e a curvatura \kappa é zero naquele ponto.
  • Como 0=\det(\beta,\alpha'')=\mu\,\det(\alpha',\alpha''), para cada t vale
\mu(t)\,\det(\alpha'(t),\alpha''(t))=0.
  • Como \alpha é regular, |\alpha'(t)|>0. Há duas alternativas ponto a ponto:
    • Se \mu(t)\neq 0 então necessariamente \det(\alpha'(t),\alpha''(t))=0, ou seja \alpha''(t) é paralelo a \alpha'(t) e a curvatura é zero naquele t.
    • Se \mu(t)=0 então \beta(t)=0 e \alpha(t)=p_0 (ou seja a curva passa por p_0 naquele t). Esses t são pontos cuja condição não força imediatamente \alpha'' paralelo a \alpha', mas são pontos isolados (veja passo seguinte).

Passo 6

Mostrar que, globalmente, a direção de \alpha'(t) é constante e a imagem é reta:
  • Da observação anterior, em todo ponto t tal que \alpha(t)\neq p_0 (ou seja \mu(t)\neq 0) temos \alpha''(t) paralelo a \alpha'(t). Isso significa que, nesses pontos, a direção do vetor tangente \alpha'(t) não varia: a derivada de \alpha' está na mesma reta do próprio \alpha', implicando que (sobre cada componente conexa onde \alpha(t)\neq p_0) a direção de \alpha' é constante.
  • Como \alpha é contínua e regular, os pontos onde \alpha(t)=p_0 não podem formar um intervalo aberto (caso contrário \alpha seria constante ali, contradizendo regularidade). Logo esses pontos são isolados. Entre dois pontos isolados a direção do tangente é constante; consequentemente, a porção da curva entre eles é um segmento de reta.
  • Ao juntar essas porções (e usando continuidade da curva), segue que toda a imagem de \alpha está contida numa mesma reta que passa por p_0. Em outras palavras, \alpha(I)\subset\ell onde \ell é a reta determinada por p_0 e a direção constante de \alpha'. Portanto o traço é (um segmento, ou união de segmentos contíguos, que é) uma reta — tipicamente um segmento da reta \ell.

Passo 7

Resumo geométrico e conclusão do item (a) (versão didática):
  • A ideia central é: a condição “todas as tangentes passam por p_0” implica que, exceto nos pontos em que a curva passa por p_0, a curvatura é zero. Curvatura zero significa linha reta localmente; por continuidade e regularidade isso força toda a curva a alinhar-se a uma reta que contém p_0. Assim a imagem de \alpha é (um segmento de) reta que passa por p_0.

Passo 8

Resposta ao item (b): se \alpha\) não for regular a conclusão pode falhar — contraexemplo explícito e simples: - Construir um contraexemplo elementar: definir \[\alpha(t)=\begin{cases} (t,0), & t\le 0,\\[4pt] (0,t), & t\ge 0. \end{cases}
  • Esta curva é contínua e, para t<0\] a tangente é o eixo \(x (reta y=0) que passa por p_0=(0,0); para t>0 a tangente é o eixo y (reta x=0) que também passa por p_0=(0,0). Logo todas as tangentes (nos pontos onde existem) passam por p_0.
  • Mas a imagem de \alpha é a união do semieixo negativo do x-eixo com o semieixo positivo do y-eixo — não é contida numa única reta. Além disso, \alpha não é regular em t=0 (derivadas à esquerda e à direita são diferentes), então a hipótese de regularidade falha.
  • Portanto, sem a hipótese de regularidade a conclusão “traço é uma reta” deixa de ser garantida.]

Resposta

(a) O traço de \alpha está contido numa reta que passa por p_0; portanto é (um segmento de) reta.
(b) Não necessariamente; sem regularidade a conclusão pode falhar (por exemplo a curva piecewise linear dada no passo anterior).

Exercícios relacionados