Uma curva parametrizada regular
tem a seguinte propriedade: todas as suas tangentes passam por um ponto fixo.
(a) Prove que o traço de
é (o segmento de) uma reta.
(b) A conclusão ainda é válida se
não é regular?
(a) Prove que o traço de
(b) A conclusão ainda é válida se
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (listar claramente):
- Foi dada uma curva parametrizada
, assumida regular (isto é, para todo do intervalo de parametrização). - Propriedade extra: todas as tangentes da curva passam por um ponto fixo
(mesmo ponto para todas as tangentes). - Pergunta (a): provar que o traço (imagem) de
é (um segmento de) uma reta. - Pergunta (b): perguntar se a mesma conclusão vale se
não for regular (isto é, se houver pontos onde ou a derivada não existir).
Passo 2
Definições e setup inicial — como traduzir a propriedade em uma equação vetorial:
- A reta tangente em
tem direção e passa por . - Dizer que essa reta passa por um ponto fixo
significa que, para cada , existe um escalar tal que
- Vou trabalhar com o vetor
. A equação acima reescreve-se como
Isto é, para todo
o vetor que vai de
até
é múltiplo do vetor tangente
:
e
são colineares.
Passo 3
Interpretando a colinearidade por determinante (ideia geométrica que elimina
):
- Em
a condição de dois vetores serem colineares equivale a . - Assim, a condição dada é
- Vou derivar essa identidade escalar
para obter informação adicional sobre .
Passo 4
Derivando
e simplificando:
- Como
, derivando e usando regra do produto (propriedade da derivada do determinante) obtemos
- Mas
, logo . - Portanto
Passo 5
Relacionando a última igualdade com curvatura e conclusão parcial:
- Como
, temos
- Em curvas planar regulares,
é (proporcional a) a curvatura multiplicada por ; em particular, se então é colinear com e a curvatura é zero naquele ponto. - Como
, para cada vale
- Como
é regular, . Há duas alternativas ponto a ponto: - Se
então necessariamente , ou seja é paralelo a e a curvatura é zero naquele . - Se
então e (ou seja a curva passa por naquele ). Esses são pontos cuja condição não força imediatamente paralelo a , mas são pontos isolados (veja passo seguinte).
- Se
Passo 6
Mostrar que, globalmente, a direção de
é constante e a imagem é reta:
- Da observação anterior, em todo ponto
tal que (ou seja ) temos paralelo a . Isso significa que, nesses pontos, a direção do vetor tangente não varia: a derivada de está na mesma reta do próprio , implicando que (sobre cada componente conexa onde ) a direção de é constante. - Como
é contínua e regular, os pontos onde não podem formar um intervalo aberto (caso contrário seria constante ali, contradizendo regularidade). Logo esses pontos são isolados. Entre dois pontos isolados a direção do tangente é constante; consequentemente, a porção da curva entre eles é um segmento de reta. - Ao juntar essas porções (e usando continuidade da curva), segue que toda a imagem de
está contida numa mesma reta que passa por . Em outras palavras, onde é a reta determinada por e a direção constante de . Portanto o traço é (um segmento, ou união de segmentos contíguos, que é) uma reta — tipicamente um segmento da reta .
Passo 7
Resumo geométrico e conclusão do item (a) (versão didática):
- A ideia central é: a condição “todas as tangentes passam por
” implica que, exceto nos pontos em que a curva passa por , a curvatura é zero. Curvatura zero significa linha reta localmente; por continuidade e regularidade isso força toda a curva a alinhar-se a uma reta que contém . Assim a imagem de é (um segmento de) reta que passa por .
Passo 8
Resposta ao item (b): se
- Esta curva é contínua e, para
(reta
) que passa por ; para a tangente é o eixo (reta ) que também passa por . Logo todas as tangentes (nos pontos onde existem) passam por . - Mas a imagem de
é a união do semieixo negativo do -eixo com o semieixo positivo do -eixo — não é contida numa única reta. Além disso, não é regular em (derivadas à esquerda e à direita são diferentes), então a hipótese de regularidade falha. - Portanto, sem a hipótese de regularidade a conclusão “traço é uma reta” deixa de ser garantida.]
Resposta
(a) O traço de
está contido numa reta que passa por
; portanto é (um segmento de) reta.
(b) Não necessariamente; sem regularidade a conclusão pode falhar (por exemplo a curva piecewise linear dada no passo anterior).
(b) Não necessariamente; sem regularidade a conclusão pode falhar (por exemplo a curva piecewise linear dada no passo anterior).