Mostre que o volume V de um paralelepípedo gerado por três vetores linearmente independentes u, v, w \in \mathbb{R}^{3} é dado por
V=|(u \wedge v) \cdot w|
e defina o volume orientado em \mathbb{R}^{3}.
Prove que
V^{2}=\left|\begin{array}{lll}
u \cdot u & u \cdot v & u \cdot w \\\ v \cdot u & v \cdot v & v \cdot w \\\ w \cdot u & w \cdot v & w \cdot w\end{array}\right|
Passo 1
O enunciado dá três vetores u,v,w\in\mathbb{R}^3 linearmente independentes e pede três coisas:
Mostrar que o volume V do paralelepípedo gerado por u,v,w é dado por \;V=|(u\wedge v)\cdot w|.
Definir o volume orientado em \mathbb{R}^3.
Provar que
V^{2}=\left|\begin{array}{lll} u \cdot u & u \cdot v & u \cdot w \\\ v \cdot u & v \cdot v & v \cdot w \\\ w \cdot u & w \cdot v & w \cdot w\end{array}\right|.
Informações relevantes dadas:
u,v,w são linearmente independentes (logo determinante associado não é zero).
A notação u\wedge v aparece; em \mathbb{R}^3 identificaremos u\wedge v com o produto vetorial u\times v (vetor perpendicular a u e v com módulo igual à área do paralelogramo gerado por u e v).
Passo 2
Conceitos básicos e propriedades úteis (aula rápida e prática).
Produto escalar: para a,b\in\mathbb{R}^3, a\cdot b=\sum_{i=1}^3 a_i b_i. Tem a propriedade geométrica \;a\cdot b=|a||b|\cos\theta, onde \theta é o ângulo entre a e b.
Produto vetorial (cross): para u,v\in\mathbb{R}^3, u\times v é o vetor perpendicular a ambos, com direção dada pela regra da mão direita e módulo
|u\times v|=|u||v|\sin\varphi,
onde \varphi é o ângulo entre u e v. Esse módulo é exatamente a área do paralelogramo com lados u e v.
Identidade de Lagrange (útil para justificar a fórmula do módulo do cross):
|u\times v|^{2}=|u|^{2}|v|^{2}-(u\cdot v)^{2}.
Explicação curta de por que isso vale: expandindo componentes ou usando propriedades do determinante das componentes de u e v obtém-se essa igualdade; geometricamente é a decomposição da área em função das projeções.
Passo 3
Mostrar que V=|(u\wedge v)\cdot w| (interpretação geométrica).
Pense no paralelepípedo gerado por u,v,w. Escolhemos a face base formada por u e v. A área da base é a área do paralelogramo gerado por u,v, isto é |u\times v| (lembre: u\wedge v será identificado com u\times v).
A altura relativa a essa base é a componente de w na direção normal à base. Seja n o versor normal à base: n=\dfrac{u\times v}{|u\times v|}. Então a altura é |n\cdot w|=\dfrac{|(u\times v)\cdot w|}{|u\times v|}.
Usando a notação do enunciado (u\wedge v para o vetor perpendicular), obtemos
V=|(u\wedge v)\cdot w|.
Dica prática para prova em prova: calcule área da base como módulo do produto vetorial e multiplique pela projeção absoluta de w sobre o normal.
Passo 4
Definição do volume orientado em \mathbb{R}^3.
Volume orientado (assinatura/sinal) do paralelepípedo gerado por u,v,w é o produto escalar sem valor absoluto:
\text{Vol}_{\text{orientado}}(u,v,w)=(u\wedge v)\cdot w.
Interpretação do sinal: se (u,v,w) formam uma base com orientação positiva (base dextrógira / regra da mão direita), então (u\wedge v)\cdot w>0; se formam base com orientação oposta, o valor será negativo. O valor absoluto dá o volume geométrico usual.
Passo 5
Relacionar produto triple escalar com determinante (identidade algébrica).
Seja a matriz A\in\mathbb{R}^{3\times3} que tem como colunas os vetores u,v,w:
A=\big[\,u\;\;v\;\;w\,\big].
Pela definição do determinante 3×3 (ou usando símbolos de Levi-Civita), o determinante de A é exatamente o produto triplo escalar:
\det(A)=(u\times v)\cdot w=(u\wedge v)\cdot w.
Breve justificativa: escrevendo em componentes e usando \varepsilon_{ijk} (Levi-Civita), \det(A)=\varepsilon_{ijk}u_i v_j w_k e também (u\times v)_i=\varepsilon_{i j k}u_j v_k, daí (u\times v)\cdot w=\varepsilon_{ijk}u_j v_k w_i que é igual a \det(A) após renomear índices (uma verificação padrão).
Assim a volume orientado é \det(A) e o volume geométrico V=|\det(A)|.
Passo 6
Provar a identidade do determinante de Gram: V^{2}=\det(G), com G matriz de produtos escalares.
Defina a matriz de Gram G associada a u,v,w por
G = \begin{pmatrix} u\cdot u & u\cdot v & u\cdot w \\\ v\cdot u & v\cdot v & v\cdot w \\\ w\cdot u & w\cdot v & w\cdot w \end{pmatrix}.
Observe que G=A^{T}A. De fato, a entrada (i,j) de A^{T}A é a coluna i de A transposta vezes a coluna j de A, ou seja o produto escalar entre os vetores correspondentes, exatamente as entradas acima.
Propriedade de determinantes: para qualquer matriz quadrada A,
\det(A^{T}A)=\det(A^{T})\det(A)=\det(A)^2,
porque \det(A^{T})=\det(A).
Aplicando isso ao nosso caso:
\det(G)=\det(A^{T}A)=\det(A)^2.
Como vimos no Passo 5, \det(A)=(u\wedge v)\cdot w é o volume orientado, e o volume geométrico V=|(u\wedge v)\cdot w|=|\det(A)|. Logo
V^{2}=|\det(A)|^{2}=\det(A)^{2}=\det(G).
Portanto
V^{2}=\left|\begin{array}{lll} u \cdot u & u \cdot v & u \cdot w \\\ v \cdot u & v \cdot v & v \cdot w \\\ w \cdot u & w \cdot v & w \cdot w\end{array}\right|.
Passo 7
Resumo e observações práticas (como usar isso rápido na prova).
Fórmula direta do volume: calcule u\times v (ou calcule a matriz com colunas u,v,w e tire o determinante); em seguida faça o produto escalar com w e pegue o valor absoluto.
Para mostrar a igualdade com a determinante de Gram, basta montar A=[u\\ v\\ w], observar G=A^{T}A e usar \det(A^{T}A)=\det(A)^2.
Observação: se os vetores não forem linearmente independentes, V=0 e \det(G)=0 também (coerente).
Resposta
V=|(u\wedge v)\cdot w|
Volume orientado: \text{Vol}_{\text{orientado}}(u,v,w)=(u\wedge v)\cdot w (sinal positivo para base dextrógira)
V^{2}=\left|\begin{array}{lll} u \cdot u & u \cdot v & u \cdot w \\\ v \cdot u & v \cdot v & v \cdot w \\\ w \cdot u & w \cdot v & w \cdot w\end{array}\right|