Mostre que o volume V de um paralelepípedo gerado por três vetores linearmente independentes u, v, w \in \mathbb{R}^{3} é dado por
V=|(u \wedge v) \cdot w|
e defina o volume orientado em \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado dá três vetores linearmente independentes u,v,w\in\mathbb{R}^3 e pede duas coisas:
  • Mostrar que o volume V do paralelepípedo gerado por u,v,w é
V = \left| (u \wedge v)\cdot w \right|.
  • Definir o volume orientado em \mathbb{R}^3.
Informações relevantes fornecidas:
  • Os vetores u,v,w geram um paralelepípedo em \mathbb{R}^3 (como são linearmente independentes, o paralelepípedo tem volume não nulo).
  • A notação u\wedge v indica o produto vetorial (cross product) entre u e v.
  • A expressão (u\wedge v)\cdot w é o produto escalar entre u\wedge v e w.

Passo 2

O que significa "volume do paralelepípedo gerado por u,v,w" e fórmula básica:
  • Pense no paralelepípedo com “base” o paralelogramo gerado por u e v e “altura” dada pela componente de w perpendicular a esse paralelogramo.
  • O volume de um paralelepípedo é sempre:
\text{volume} = (\text{área da base}) \times (\text{altura em relação à base}).áçãà
Aqui a base escolhida é o paralelogramo gerado por u e v. Então precisamos:
  1. Saber a área do paralelogramo gerado por u e v.
  2. Saber a altura (distância perpendicular) do vetor w à superfície da base.
Vou agora ensinar como calcular cada uma dessas duas quantidades usando produtos vetoriais e produtos escalares.

Passo 3

Área do paralelogramo gerado por u e v via produto vetorial:
  • Definição (intuição): o produto vetorial u\wedge v é um vetor perpendicular ao plano determinado por u e v, com direção dada pela regra da mão direita e magnitude igual à área do paralelogramo formado por u e v.
  • Propriedade fundamental que vamos usar:
\lVert u\wedge v\rVert = \lVert u\rVert\,\lVert v\rVert\,\sin\theta,
onde \theta é o ângulo entre u e v, e \lVert\cdot\rVert é a norma Euclidiana.
  • Por definição geométrica da área do paralelogramo (base \lVert u\rVert e altura \lVert v\rVert\sin\theta):
\text{Área do paralelogramo gerado por }u,v = \lVert u\rVert\,\lVert v\rVert\,\sin\theta = \lVert u\wedge v\rVert.Á
Portanto a área da base é \lVert u\wedge v\rVert. (Se isso for novo pra você: imagine u como um lado do paralelogramo e a projeção perpendicular de v como altura; o produto vetorial calcula isso automaticamente.)

Passo 4

Altura do paralelepípedo medida a partir de w:
  • A altura é a componente de w na direção normal ao plano de u e v. Uma unidade normal ao plano pode ser tomada como
n = \frac{u\wedge v}{\lVert u\wedge v\rVert}.
  • A componente de w na direção de n (ou seja, a distância perpendicular da ponta de w ao plano da base, com sinal) é dada pelo produto escalar w\cdot n.
  • Se queremos a altura positiva (distância absoluta), tomamos |w\cdot n|.
  • Substituindo n obtemos:
\text{altura} = \left| w\cdot \frac{u\wedge v}{\lVert u\wedge v\rVert} \right| = \frac{\left| (u\wedge v)\cdot w \right|}{\lVert u\wedge v\rVert}.
Nota: usei a propriedade de comutatividade do produto escalar (u\wedge v)\cdot w = w\cdot(u\wedge v).

Passo 5

Combinar área da base com altura para obter o volume:
  • Aplicando a fórmula volume = área da base × altura:
V = \lVert u\wedge v\rVert \times \left(\frac{\left| (u\wedge v)\cdot w \right|}{\lVert u\wedge v\rVert}\right).
  • Simplificando (a norma \lVert u\wedge v\rVert cancela):
V = \left| (u\wedge v)\cdot w \right|.
  • Essa é exatamente a expressão pedida. A interpretação geométrica é clara: (u\wedge v) tem magnitude igual à área da base e direção normal; o produto escalar com w extrai a componente de w nessa direção; o valor absoluto garante volume positivo.

Passo 6

Observações adicionais e ligação com determinante e orientação (ajuda a entender o “volume orientado”):
  • O número (u\wedge v)\cdot w (sem valor absoluto) é chamado produto misto ou produto triple scalar e tem as seguintes propriedades importantes:
    • É multilinear nas colunas (linear em cada argumento separadamente).
    • É alternante: se trocar duas das entradas u,v,w o sinal muda (por exemplo, trocar u e v muda o sinal).
    • Para a base canônica (e_1,e_2,e_3) vale (e_1\wedge e_2)\cdot e_3 = 1.
  • Relação com determinante: se colocarmos u,v,w como colunas de uma matriz A, então
(u\wedge v)\cdot w = \det(A).
Essa igualdade mostra que o produto misto é o determinante da matriz cujas colunas são u,v,w. Assim o valor absoluto do determinante é o volume geométrico do paralelepípedo e o sinal do determinante codifica a orientação.

Passo 7

Definição formal do volume orientado em \mathbb{R}^3 (a resposta pedida):
  • Definição prática: O volume orientado do paralelepípedo gerado por u,v,w\in\mathbb{R}^3 é o número
\mathcal{V}_{\text{orient}}(u,v,w) = (u\wedge v)\cdot w.
  • Interpretação: \mathcal{V}_{\text{orient}} é o “volume com sinal” — seu valor absoluto \left| \mathcal{V}_{\text{orient}}(u,v,w)\right| é o volume geométrico (positivo) e o sinal indica a orientação relativa dos vetores u,v,w (positivo se (u,v,w) forma uma base de orientação direta, negativo caso contrário).
  • Propriedades úteis para a prova/uso na prova:
    1. \mathcal{V}_{\text{orient}} é multilinear.
    2. \mathcal{V}_{\text{orient}}(u,v,w) troca de sinal quando se troca duas entradas.
    3. \mathcal{V}_{\text{orient}}(e_1,e_2,e_3)=1 para a base canônica, conectando com o determinante.

Resposta

V=\left|(u\wedge v)\cdot w\right|
O volume orientado em \mathbb{R}^3 é dado por \mathcal{V}_{\text{orient}}(u,v,w)=(u\wedge v)\cdot w, cujo valor absoluto é o volume geométrico e cujo sinal codifica a orientação da tríade (u,v,w).

Exercícios relacionados